今回の問題は、空欄の前にtheがあるので、名詞が入るということがすぐに分かったのではないでしょうか。
それぞれの選択肢を見てみると、
cancels：cancel「取り消す・無効にする」（動詞）の三人称単数系
cancellation： 「キャンセル・取り消し」（名詞）
cancel：cancelを参照
cancelling：cancelの現在進行形
となり、答えはcancellationとなります。
答え：cancellation
訳：Hollyさんは、部屋の予約をキャンセルするために、Palm Treesホテルに電話しなければならなかった。
正解はcancellationです。
品詞問題なので、空欄の前後だけを見ても解けますね。
頭から全文読む必要はありません。
空欄の前に冠詞のtheがあり、空欄の後に前置詞ofがあるので、空欄には名詞が入ります。
訳：Ms.Hollyは部屋のキャンセルを依頼するために、Palm Trees Hotelに電話しなければなりませんでした。
cancelに三単現のsを付けたものです。
正解です。
cancelは「キャンセルする」という意味の動詞です。
cancelingは動名詞で「キャンセルすること」という意味になりますが、動名詞には冠詞がつかないので、この場合は不正解です。
ポイント：品詞
解説：まず選択肢を見るとcancelを変化させた単語ばかりなので、品詞問題とわかります。
空欄の前後を見ればthe.....of となっており、名詞を入れれば良いとわかります。
選択肢の中ではcancellationが正解です。
日本語訳：ホリーさんは部屋の予約のキャンセルをお願いするために、パームツリーホテルに電話をしなくてはなりませんでした。
動詞cancelの３単現のsが付いた形です。
正解です。
動詞「キャンセルする」 です。
動詞cancelの動名詞形。
動名詞は名詞の１種ですが、前にtheが付かないので、ここでは不正解です。
