正解は【2】番です。各選択肢について検討してみましょう。
1. about
How about …? には次のような意味があります。
1)勧誘・提案時の「…(して)はどうですか」
2)意見を尋ねたいときの「…はどうですか」
3)不満・非難を込めた「…はどうなるのか」
about は前置詞ですから,
すぐ後には名詞・動名詞(doing)や代名詞が続きます。
この問題では,are you going to stay in Japan? という
疑問文の形が続くので,これは不正解と判断します。
2. long
How long …? は長さの程度を聞くときに用いる表現です。
今回の問題のように,期間(時間)の長さを聞く場合にも使えますし,
How long is the Yodo River? (淀川の長さはどのくらいですか。)
のように物の長さを聞く場合にも使います。
How long are you going to stay in Japan?
(日本にはどの程度滞在されるご予定ですか。)
文法的にも問題なく,意味も通じるので
こちらが正解となります。
3. soon
How soon …? で「どのくらい早く」という意味の表現です。
例)How soon can we get there?
(どれくらい早く向こうへ着けますか。
→あとどのくらいで向こうに着きますか。)
------- に soon を入れても
文法的には一見問題ない文が出来上がりますが,
stay(とどまる,滞在する,泊まる)という
ある程度の期間を要する行動を表す動詞と
How soon …? という表現とは相容れません。
したがって,不正解ということになります。
4. many
How many … ? は数を聞く表現です。
How many days … のように数えられる名詞の複数形を直後に伴います。
したがって不正解です。