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第三種電気主任技術者の過去問 平成29年度(2017年) 理論 問2

問題

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極板の面積S[m2]、極板間の距離d[m]の平行板コンデンサA、極板の面積2S[m2]、極板間の距離d[m]の平行板コンデンサB及び極板の面積S[m2]、極板間の距離2d[m]の平行板コンデンサCがある。各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれ直流電源で充電されている。各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値[J]は、並列に接続する前の総和の値[J]の何倍になるか。その倍率として、最も近いものを次の( 1 )~( 5 )のうちから一つ選べ。
ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。
問題文の画像
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0.77
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0.91
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1
   4 .
1.09
   5 .
1.31
( 第三種 電気主任技術者試験 平成29年度(2017年) 理論 問2 )
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この過去問の解説 (2件)

3
求められているものは静電エネルギーWの比ですので、まずは静電エネルギーの公式を知らないといけません。静電エネルギーの公式は

W=1/2×CV^2

で表されます。電圧Vと静電容量Cについてですが、数値が与えられていないので、与えられている情報で表現します。電圧Vとコンデンサの静電容量Cの公式は

V=Ed

C=εS/d

コンデンサA、B、Cの関係を表すと

Cb=2Ca

Cc=1/2Ca

電圧A、B、Cの関係を表すと

Vb=Va

Vc=2Va

以上により、並列接続前の静電エネルギーWは次のように表せます。

W=1/2×CaVa^2+1/2×2CaVa^2+1/2×1/2Ca×(2Va)^2

W=5/2×CaVa^2

次に、並列接続後です。総電荷Qは並列接続前後で変わりません。電荷Qは

Q=CV

と表せますので、CとVを使えば総電荷Qを表現できます。

Q=Qa+Qb+Qc

Q=CaVa+2CaVa+CaVa

Q=4CaVa

コンデンサの静電容量Cも不変であるので

C=Ca+Cb+Cc

C=7/2×Ca

よって、並列接続後の静電エネルギーWは

W=1/2×(4CaVa)^2÷7/2×Ca

W=16/7×CaVa^2

よって、並列接続前後の静電エネルギーの比は

W比=16/7×CaVa^2÷5/2×CaVa^2

W比=0.914

以上により、選択肢の【2】が正解となります。


付箋メモを残すことが出来ます。
2

正解:【2】

電極面積がSと電極の距離がdのコンデンサの容量は次の通りになります。

 C ≒ εS / d

よって、各コンデンサの容量は次のようになります。

 Ca = εS / d

 Cb = ε2S / d = 2*Ca

 Cc = εS / (2d) = 0.5*Ca

同じ電解Eになるように電源が印加されいるため、各電位は次のようになります。

 E = Va / d

 E = Vb / d

 E = Vc / (2d)

よって、

 Vb = Va

 Vc = 2Va

蓄えられたエネルギーは、

 W = 0.5*C*V2 = Q2 / (2C)

であることから、接続する前の各コンデンサのエネルギーは次のようになります。

 Wa = 0.5*Ca*Va2

 Wb = 0.5*Cb*Vb2 = 0.5*2*Ca*Va2 = Ca*Va2

 Wc = 0.5*Cc*Vc2 = 0.5*0.5*Ca*(2Va)2 = Ca*Va2

よって、接続前のエネルギーの総和Wtは、

 Wt = Wa + Wb + Wc = 2.5*Ca*Va2

並列接続すると、総電荷Qは変わりません。

接続前のコンデンサの電荷はそれぞれ、

 Qa = Ca*Va

 Qb = Cb*Vb = 2*Ca*Va

 Qc = Cc*Vc = 0.5*Ca*2Va = Ca*Va

よって、総電荷Qは、

 Q = 4*Ca*Va

また並列した容量値は C = Ca + Cb + Cc = 3.5*Ca となります。

そのため接続後のエネルギーは、

 W2 = (4*Ca*Va)2 / (2*3.5*Ca)

   = 16*Ca*Va2 / 7

それにより、エネルギーの比は

 比 = W2/ Wt

  = (16*Ca*Va2 / 7) / (2.5*Ca*Va2)

  = 16 / (7*2.5)

  = 0.914

  ≒ 0.91

以上により、選択肢の【2】が正解となります。

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