問題
ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。
正解:【2】
電極面積がSと電極の距離がdのコンデンサの容量は次の通りになります。
C ≒ εS / d
よって、各コンデンサの容量は次のようになります。
Ca = εS / d
Cb = ε2S / d = 2*Ca
Cc = εS / (2d) = 0.5*Ca
同じ電解Eになるように電源が印加されいるため、各電位は次のようになります。
E = Va / d
E = Vb / d
E = Vc / (2d)
よって、
Vb = Va
Vc = 2Va
蓄えられたエネルギーは、
W = 0.5*C*V2 = Q2 / (2C)
であることから、接続する前の各コンデンサのエネルギーは次のようになります。
Wa = 0.5*Ca*Va2
Wb = 0.5*Cb*Vb2 = 0.5*2*Ca*Va2 = Ca*Va2
Wc = 0.5*Cc*Vc2 = 0.5*0.5*Ca*(2Va)2 = Ca*Va2
よって、接続前のエネルギーの総和Wtは、
Wt = Wa + Wb + Wc = 2.5*Ca*Va2
並列接続すると、総電荷Qは変わりません。
接続前のコンデンサの電荷はそれぞれ、
Qa = Ca*Va
Qb = Cb*Vb = 2*Ca*Va
Qc = Cc*Vc = 0.5*Ca*2Va = Ca*Va
よって、総電荷Qは、
Q = 4*Ca*Va
また並列した容量値は C = Ca + Cb + Cc = 3.5*Ca となります。
そのため接続後のエネルギーは、
W2 = (4*Ca*Va)2 / (2*3.5*Ca)
= 16*Ca*Va2 / 7
それにより、エネルギーの比は
比 = W2/ Wt
= (16*Ca*Va2 / 7) / (2.5*Ca*Va2)
= 16 / (7*2.5)
= 0.914
≒ 0.91
以上により、選択肢の【2】が正解となります。