第三種電気主任技術者の過去問 平成29年度（2017年） 理論 問8

オームの法則および、分流の法則を利用する問題です。

まずは、オームの法則から、回路全体の合成インピーダンスZを求めます。

　合成インピーダンス Z＝V/I＝100/20＝5Ω

次に、R1とR2の合成抵抗R0を求めます。
R0とリアクタンスXの二乗和平方根がZのスカラー量となりますので、

　　Z＝√(R0^2＋X^2)
　　5＝√(R0^2＋4^2)
　　25＝(R0^2＋16)　※両辺を2乗
　R0^2＝9
　　R0＝3Ω

続いて、分流の法則より、I1とI2は以下の式で表されます。

　I1＝R2/(R1＋R2)
　I2＝R1/(R1＋R2)

I1：I2＝1：3ですから、上記の式より、R1とR2の比は下記になります。

　R1：R2＝3：1

したがって、R2をR1であらわすと、下記になります。

　R2＝1/3×R1

さて、はじめにもとめたとおり、R1とR2の合成抵抗R0は3Ωでした。
この値から、R1を逆算してこの問題の回答を導きます。

　R0＝3Ω＝R1×R2/(R1＋R2)
　　　　 ＝R1×1/3×R1/(R1＋1/3×R1)
　　　　 ＝1/3×R1^2/(4/3×R1)
　　　　 ＝1/4×R1

したがって、

　R1＝4×R0＝12Ω

よって、この問題の正解は【5】となります。

回路の電源電圧と全電流が記述されていますので、回路全体のインピーダンスZは

Z=V/I

Z=100/20

Z=5

リアクタンスXが4Ωですので、合成抵抗Rは

R=√(5^2-4^2)

R=3

I1：I2比が1：3であるので

R2=1/3×R1

合成抵抗Rの式は

R=R1×R2/R1+R2

R=(R1×1/3×R1)/(R1+1/3×R1)

よって、R1は

R1=4R

R1=4×3

R1=12

以上により、選択肢の【5】が正解となります。

正解：【５】

・まずはR1とR2の合成抵抗Rを計算します。

この回路のインピーダンスを計算する時、抵抗R₁とR₂は実部となり、インダクタンスは虚部となります。

R₁とR₂は並列接続となっています。その合成抵抗をRとします。

回路のインピーダンスZは、

　Z ＝ √ ( R² ＋ X² )

よって、Rは次のように計算できます。

式1）　R ＝ √ ( Z² － X² )

Zはオームの法則を使って次のように計算できます。

　Z ＝ E / I

こちらを式１に代入すると次のようになります。

　R ＝ √ { (E / I)² － X² }

　　＝ √ { (100/20)² － 4² }

　　＝ √ ( 5² － 4² )

　　＝ √ ( 25 － 16 )

　　＝ √ 9

　　＝ 3

・電流の比から抵抗の比を計算できます。同じ電圧が印加されているため、

　R₁ ＊ I₁ ＝ R₂ ＊ I₂

→　R₁ ＝ R₂ ＊ I₂ / I₁

　　　 ＝ R₂ ＊ 3

となります。

並列抵抗Rの計算式の R₂ に R₁/3 を代入すると、次のようになります。

　R ＝ R₁ ＊ R₂ / (R₁ ＋ R₂)

　　＝ ( R₁² /3 ) / (R₁ ＋ R₁/3)

　　＝ R₁ ＊ (1/ 3) / (4/3)

　　＝ R₁ / 4

よって、R₁は次のように計算できます。

　R₁ ＝ 4＊R

　　 ＝ 4＊3

　　 ＝ 12［Ω］

以上により、選択肢の【５】が正解となります。