技術士の過去問 平成27年度（2015年） 基礎科目「解析に関するもの」 問13

補間多項式に関する問題です。
多項式に代入して a、b、c を求めると早く解くことができます。

問題文に2次の補間多項式とあるので、
f(x) = ax² + bx + c となります。
よって、各式は以下のように表すことができます。

f(-1) = a - b + c = 2
f(0) = c = 2
f(2) = 4a + 2b + c = 8

この3式を連立させて、a、b、cを導きます。
a = 1、 b = 1、c = 2 となることから、f(x) = x² + x + 2 と表すことができます。

よって、f(1) = 1² + 1 + 2 = 4 となるので、２が正解です。

関数f(x)を2次の補間多項式で近似する、とは、f(x) = ax^2 + bx +c と表現することを意味します。

この式にそれぞれの数値を当てはめて表現していきます。

f(-1) = a x (-1)^2 + b x (-1) + c = a-b+c = 2 ・・・(1)

f(0) = c = 2 ・・・（2）

f(2) = a x 2^2 + b x 2 + c = 8　・・・（3）

(2)より、c = 2と定まりますので、これを(1) に代入して、

(1) は a-b+2 = 2 →　a-b = 0 →　a = b　と変形できます。

(3) に、a = b, c = 2 を代入して、

4b + 2b +2 = 8　→　6b = 6 → b = 1 と変形できます。

すなわち、a = 1、b = 1、c = 2 ですから、

f(x) = x^2 + x + 2 と表わせます。

よって、f(1) = 1^2 + 1 + 2 = 4 で、正解選択肢は2となります。

正解は2です。
2次のラグランジュ補完多項式で近似式p(x)を求め、f(1)の値を導きます。

f(x)が点(a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))を通るとき、
2次のラグランジュ補完多項式で近似すると、近似式p(x)は以下の通りです。

p(x)= f(a) × (x-b)(x-c) / (a-b)(a-c)　＋　f(b) × (x-a)(x-c) / (b-a)(b-c)
＋　f(c) × (x-a)(x-b) / (c-a)(c-b)

f(-1)=2、f(0)=2、f(2)=8が与えられているので、p(x)を求めると、
p(x)= 2 × (x-0)(x-2) / (-1-0)(-1-2)　＋　2 × (x-(-1))(x-2) / (0-(-1))(0-2)
＋　8 × (x-(-1))(x-0) / (2-(-1))(2-0)

p(x)を整理すると、p(x)=x^2+x+2
※xの二乗はx^2と表記しています。

p(x)にx=1を代入するとp(1)=1+1+2=4

したがって、正解はf(1)の近似値は4となるので、2が正解です。