技術士の過去問 平成27年度（2015年） 基礎科目「解析に関するもの」 問17

正解は3です。
壁に固定された棒に荷重を加えた時の変位を求める問題です。
棒が固定されているので、点Aにでは荷重Pに反対方向の力Paがかかります。
また点Bでも同様に荷重Pに反対方向の力Pbがかかります。

力の大きさに関して、次の式が成り立ちます。 P = Pa + Pb…①
力の向きとしては、AB間では引張力となり、BC間では圧縮力となります。

棒は固定されているので棒の長さには変化がありません。
したがって、AB間の引張力による変位δa、BC間の圧縮力による変位δbが、
逆向きであり、なおかつ、釣り合っていると考えられます。
δa - δb = 0…②

δaを求めると次の通りです。
δa = (l/2)Pa / SE1 = lPa / 2SE1

δbを求めると次の通りです。
δb = (l/2)Pb / SE2 = lPb / 2SE2

①からPb = P- Paなので
δb = l(P-Pa) / 2SE2　となります。

②から、lPa / 2SE1 – l(P-Pa) / 2SE2 = 0　なので、
Paについて解くと、Pa = E1lP / (E1l + E2l)　　　　

これをδaに代入すると、　δa = Pl / 2S(E1+E2)　となるので、3が正解です。

応力とひずみに関する問題です。

点Bの変位は、AB間とBC間の変位の和で表されます。

そのため、各部材の変位を求めます。

応力-ひずみの関係より、

δ = εL, σ = F/A

また、フックの法則より、

σ = Eε　→　ε = σ/E

上記の式より、δ = FL/AE となります。

この式を用いて、各部材の変位を求めます。

＜部材AB＞

B点において、力のつり合いより、F=P

長さLは図よりl/2、断面積AはS、ヤング率EはE₁となります。

よって、δ(AB) = P×(l/2) / S×E1 = Pl / 2SE₁

＜部材BC＞

B点において、F=P

長さLは図よりl/2、断面積AはS、ヤング率EはE₂となります。

よって、δ(BC) = P×(l/2) / S×E2 = Pl / 2SE₂

以上より、

変位δ = δ(AB) + δ(BC)

= Pl / 2SE₁ + Pl / 2SE₂ = Pl / 2S(E₁+E₂)

よって、３が正解です。

材料の変位については、ヤング率を用いた以下の式が成り立ちます。

変位　＝　（単位面積あたりの力ｘ長さ）/　ヤング率

ここで、棒は両端を剛体壁に挟まれているので、

ABからみたBの変位δ1とかかる力P1は

δ1＝（P1/S x l/2）/ E1 ＝ P1l/2SE1

BCからみたBの変位δ2とかかる力P2は

δ2＝（P2/S x l/2）/ E2 ＝ P2l/2SE2となります。

δ1とδ2は釣り合っており、なおかつ、逆向きであるので、

δ1-δ2 =0、すなわち、δ1＝δ2となり、また、P＝P1+P2、すなわち、P2=P-P1となります。

このことから、

P1l/2SE1＝ P2l/2SE2にP2＝P-P1を代入して、

P1l/2SE1 ＝ (P-P1)l/2SE2

これを変形して、

P1 ＝ PE1 / (E1+E2)

これを、δ1＝ P1l/2SE1 に代入して、

δ1 ＝ PE1l / 2SE1(E1+E2) ＝ Pl / 2S(E1+E2)

よって、正解は、3となります。