問題
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2次元の領域Dにおける
1 .
1
2 .
u+v
3 .
u-v
4 .
1+uv
5 .
1-uv
( 技術士 第一次試験 平成28年度(2016年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14 )
正解は3です。
ヤコビアンというのは、
f(x,y) があって、xとyもそれぞれuとvの関数で、つまりx(u,v),y(u,v)のとき、
z=f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))と表せるとします。この時、zをu,vで偏微分したいとき
∂z/∂u = ∂z/∂x × ∂x/∂u + ∂z/∂y × ∂y/∂u
∂z/∂v= ∂z/∂x × ∂x/∂v + ∂z/∂y × ∂y/∂v
のようになります。これを行列で表すと
[∂z/∂u] =[ ∂x/∂u ∂y/∂u][∂z/∂x]
[∂z/∂v] =[ ∂x/∂v ∂y/∂v][∂z/∂y]
となります。真ん中の部分がヤコビアン行列です。これの行列式を求めると
|J|=∂x/∂u ∂y/∂v - ∂y/∂u ∂x/∂v
x=u+v
y=uv なので
|J|=1×u - v×1=u-v
となります。
ヤコビアンに関する問題です。
x,yをu,vに変換する場合のヤコビアンは
J=∂x/∂u×∂y/∂v-∂x/∂v×∂y/∂uで求めます。
ここで
∂x/∂u=1
∂y/∂v=u
∂x/∂v=1
∂y/∂u=v
になりますので
J=1×u-1×v=u-v
になり、③が正解です。