問題
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d2u/dx2は関数uを2回微分したものになります。
まず、関数uを1回微分したdu/dxの場合、差分表現は(ui+1-ui)/h・・・(1)になります。
この差分表現に記載したuiをさらに微分し差分表現する場合は
(1)のui+1と、uiに(1)を代入します。
ただし、ui+1と、uiそれぞれに代入する(1)の添え字iは1づつずらして区別します。
以上より、d2u/dx2の差分表現は
{(ui+1-ui)/h-(ui-ui-1)/h}/hから
{(ui+1-ui)-(ui-ui-1)}/h2=(ui+1-2ui+ui-1)/h2となります。
したがって、5が正解となります。
一般的に関数F(i)の1次微分は、下記の通りとなります。
f’(i) = {f(i+1) - f(i)} / Δ
f’(i-1) = {f(i) - f(i-1)} / Δ
さらに、F(i)の2次微分は、下記の通りとなります。
f’’(i) = {f’(i) – f’(i-1)} / Δ
= {f(i+1) – 2f(i) + f(i-1)} / Δ2
このことから、
F(i)=ui
Δ=h
とすると
d2u/dx2 = (ui+1-2ui+ui-1)/h2
となります。
よって、答えは5となります。