技術士の過去問 令和元年度（2019年）再試験 基礎科目「解析に関するもの」 問14

ベクトルの考え方を用いた解析学に関する問題も技術士試験では頻出です。落ち着いて丁寧に解いていきましょう。

まず、平面の式より、平面に垂直な直線のベクトル（法線ベクトル）は（1,2,-1）と表されます。

ここで、点 A を通り平面 S に垂直な直線（以下、lとします）の方向ベクトルは、上記の法線ベクトルに平行となるため、法線ベクトルと等しくなります。したがって、（1,2,-1）と表されます。

直線lの方程式を、媒介変数をtとして表すと、点A（6,5,4）を通るので、

（x,y,z）=(6,5,4)+t(1,2-1)=(t+6,2t+5, -t+4)と表すことができます。

ここで、平面Sの方程式: x + 2y − z = 0に上記(x,y,z)を代入して、

t+6+2(2t+5)-(-t+4)=0

t+6+4t+10+t-4=0

6t+12=0

6t=-12

t=-2

これをもう一度上記の（x,y,z）=(t+6,2t+5, -t+4)に代入して、

(x,y,z)=(-2+6, -2x2+5,2+4)=(4,1,6)

したがって、正解選択肢は2.となります。

交点Bの座標を(s, t, u)とします。
このとき交点Bは平面S上に存在しますので、以下の式を満たします。
s + 2t - u = 0・・・①

ここで点Aから点Bへのベクトルは、(s-6, t-5, u-4)と表すことができます。
この点Aから点Bへのベクトルは
平面S上の任意のベクトルと内積が 0 になります。

ここで平面S上のベクトル(1, 1, 3)と(1, 2, 5)の
2つのベクトルとの内積を考えると、以下の式で表すことができます。
s-6 + t-5 + 3u-12 = 0・・・②
s-6 + 2t-10 + 5u-20 = 0・・・③

①～③を満たす s, t, u を計算すると、
s = 4、t = 1、u = 6　となります。

よって答えは2です。

ベクトルの考え方を用いた解析学に関する問題です。

まず、平面の式より、平面に垂直な直線のベクトル（法線ベクトル）は（1,2,-1）と表されます。

この法線ベクトルが点Aをとおり、平面Sと交わります。

よって、点Aをとおる法線ベクトルは媒介変数をtとして表すと、

（x,y,z）=(6,5,4)+t(1,2-1)=(t+6,2t+5, -t+4)と表すことができます。

ここで、平面Sの方程式: x + 2y − z = 0に上記(x,y,z)を代入すると、

t+6+2(2t+5)-(-t+4)=0

t+6+4t+10+t-4=0

6t+12=0

6t=-12

t=-2

となり、媒介変数 t が求まります。

媒介変数 t を上記の（x,y,z）=(t+6,2t+5, -t+4)に代入すると、

(x,y,z)=(-2+6, -2x2+5,2+4)=(4,1,6)　となります。

よって、交点Bは (x,y,z) = (4,1,6) となるので正解は２です。