技術士の過去問 令和2年度（2020年） 基礎科目「材料・化学・バイオに関するもの」 問22

化学技術の考え方の基盤となる、結晶構造に関する問題ですね。技術士試験ではよく取り扱われますので、解法をきちんと押さえておきましょう。

穴埋めを正しく行ったあと、正しい組み合わせを選択するところでも間違えないようにしましょう。

面心立方構造の場合の単位胞(単位格子)には4個の原子が含まれます。

ちなみに、単位胞に2個の原子を含むのは体心立方構造です。

面心立方構造の配位数(近接する原子の数)は12です。

ちなみに、配位数が8なのは体心立方構造です。

面心立方構造では、単位胞である立方体の一つの面となる正方形の中心に1つ、対角に各1つずつ、アルミニウム原子が隙間なく並んでいることになりますので、正方形の対角線の長さは、R＋2R+R=4Rとなります。

立方体の一辺の長さ（＝正方形の一辺の長さ）を用いて三平方の定理により、

a^2+a^2=(4R)^2と表わせます。

これを整理すると、

2a^2=16R^2

a^2=8R^2

a=2√2R

となります。

以上を正しく並べて、正解選択肢は5. となります。

アルミニウムの結晶構造に関する問題です。

面心立法構造は8つの頂点で構成した1つの立方体（単位胞）において、原子は8つの頂点と6つの面の中心に、計14個の原子から構成した構造です。

球体をなす原子は、隣り合わせの単位胞とも体積を共有していますので、単位胞に占める原子の数について下記の通りとなります。

8つの頂点に配置した原子：1つの原子に対し、8つの単位胞が共有しているので、1つの単位胞に占める原子の数は8÷8＝1になります。

6つの面の中心に配置した原子：1つの原子に対し、2つの単位胞が共有しているので、1つの単位胞に占める原子の数は6÷2＝3になります。

以上より、単位胞に占める原子の総数は4個になります。

配位数とは1つの原子に最も近い原子の数を指します。
面心立法構造の場合、2つの単位胞をつなげて考えます。
配位数は12になります。

単位胞となる立法体の面の中心に存在するアルミニウムの原子と、立法体の面の頂点に存在するアルミニウムの原子が隙間なく配列していますので、立方体の面の対角線長さは4Rになります。

立方体の一辺の長さをaとすると三平方の定理からa^2+a^2=(4R)^2が成り立ちます。

aで整理すると
a=2√2R
したがって、5が正解となります。

正解は５です。

まず、面心立方構造について考えます。

目がすべて１のさいころをルービックキューブ状（３ｘ３ｘ３）に重ねたものをイメージしてください。目の部分とカドに原子がついていると考えてみてください。

そのとき外から見えない真ん中のさいころについて検討します。

ア：一つの単位胞は〇個の原子を含み

まず面が６個ありますね。ただし、隣接するサイコロの面と合わせて1個の原子です。サイコロに面は６つですので、1つのさいころに含まれる面の原子は２／６＝３個ということになります。

つぎにカドの原子について考えます。角は自分を含めて８個のさいころに接しています。ということは、一つのカドの原子は１／８個です。そしてサイコロ１つにカドは８つありますので１／８×８＝１個分です。

面とカドの原子は合わせて３＋１＝４個となります。

イ：配位数が〇である。

配位数とはある1つの原子から見て、取り囲んでいる原子の数のことです。

サイコロを2つくっつけて、くっついている面の原子を中心に考えてみます。

するとこの原子を囲っている原子は

・上部には面に２つ、カドに２つ、

・同じ高さに面が４つ

・下部には面に２つ、カドに２つ

あるので合計12個原子があります。

ウ：単位胞となる立方体の一辺の長さをa［cm］、アルミニウム原子の半径をR［cm］とすると…

今度はサイコロの1つの面について考えます。

サイコロの一辺がa [cm]です。カド（頂点）にある原子と面にある原子は接しています。

なので対角線の長さは半径の4倍となるので4Rです。

あとは三平方の定理により

a²+a²=(4R)²

2a²=(4R)²

√2 a=4R

a=4R/√2

有理化して

a=2√2 R

となります。