正解は 4. convinced です。
構文の問題です。
「be convinced + that節」で「~ということを確信している、思い込んでいる」という意味になります。ここで使われている convinced は「形容詞」です。
ただ、convince を「動詞」として捉えたとしても、この単語自体は「~を納得させる、確信させる」という意味なので、「確信する」という意味にしたければ、be convinced としなければなりません。(「受動態」の反対バージョンのようなイメージです。)
選択肢にある believe は「動詞」で「~を信じる」という意味です。よって、be believed(信じられる)としてしまうと、本問の後半部分、that he is in the right(彼は正しいということ)とはつながらず、意味不明になってしまいます。
また、日本語で「信じている」とすると、be believing と「進行形」にしたくなりますが、believe は「動作動詞」ではなく、「状態動詞」なので「進行形」にできません。「信じている」という意味でも believe のままで良いのです。したがって、4. が正解です。
訳: 彼は、自分は正しいと思い込んでいる。