正解は1番です。
I don't know ( ) I can solve the problem.
空所はI don't knowとI can solve the problemをつなぐ語が入ります。さらに、空所が後に続く節の中でどんな働きをするのかを見極める必要があります。
I can solve the problemは、I(S)can solve(V) the problem(O)と文が完結していますので、空所の語は副詞的な働きをしていると考えます。
すると、1番のhow(どのように)か2番のwhen(いつ)が考えられますが、文意から1番を選びます。
訳)どのようにしてそれを解決してよいか分からない。
いわゆる疑問詞(5W1H)は、名詞または副詞の働きをしながら、文と文をつなぐ役割を兼ねていると考えるとよいでしょう。
関係代名詞、関係副詞、間接疑問文、従属接続詞など、文法的には別個のものと考えられているようですが、英語圏の人々はこれらを厳密に区別しているわけではないように思います。
Who「誰(名詞)」
What「何(名詞)」
Which「どれ、どの(名詞)」
When「いつ(副詞)」
Where「どこで(副詞)」
How「どうやって・どのくらい(副詞)」
話をふくらませていく必須アイテムと考えるといいですね。