英検® 3級 予想問題
問219

正解は２番です。

1.remember「覚えている」
・that節中の動詞が現在形なので不自然です。

2.hope「願う、望む」
・hope that---で「---することを願う」の意味です。

3.promise「約束する」
・that節中にwill(---するだろう)が必要です。文意も不自然です。

4.want「---したい」
・want that---とthat節を続けることはできません。

訳：両親は私が医者になることを望んでいる。

正解は2番です。

単語（動詞）の問題です。空白には hope が入ります。「主語 + hope that ～」で「～であることを望む」という意味になります。

また、「hope to do」で「～することを望む」と表現することもできます。

remember は「～を覚えている」または「（～を）思い出す」という意味です。

promise は「～を約束する」という意味です。

訳 : 私の両親は私が医者になることを望んでいます。

My parents hope that I become a doctor.
訳)両親は、私が医者になることを望みます。

1 . remember：覚えている
2 . hope：望む、希望する
3 . promise：約束する
4 . want：欲しい

この問題は時制の問題ではありません。純粋な単語の問題です。
選択肢それぞれの意味を当てはめてあげて、一番自然な意味になるものを選ぶだけです。だから、hopeが正解となります。親は願っているんですよ、いつでも。

余談ですが、時制の問題ではないと言ったのは、時制の一致という考え方からすれば現在形が使われているので、空欄も現在形で一致させるという至極単純なことなんです。
よくやってしまうのは、rememberって「覚えている」だから、内容は昔の話でしょとかhopeって「願う」だし、promiseは「約束する」だから未来の話でしょとかって考えるのは、日本語の考え方であって英語の考え方ではありません。
確かに過去形にしたりwillを使うことは多いのですが、しっかりと内容を踏まえたうえで判断しましょう。以上余談でした。