正解は１・２・３です。
根拠を抜粋します。
第五節 介護保険施設 第一款 指定介護老人福祉施設
（指定介護老人福祉施設の指定）
第八十六条 第四十八条第一項第一号の指定は、厚生労働省令で定めるところにより、老人福祉法第二十条の五 に規定する特別養護老人ホームのうち、その入所定員が三十人以上であって都道府県の条例で定める数であるものの開設者の申請があったものについて行う。
１ 正解。→『介護保険法』の条文に定められています（上記参照）。
補足：老人福祉法に規定する特別養護老人ホームのうち、入所定員が29名以下の場合で介護保険法の基準を満たし、申請している場合には、地域密着型介護老人福祉施設入所者生活介護として市町村長が指定します。
２ 正解。→『介護保険法』の条文に定められています（上記参照）。
３ 正解。→『介護保険法』の条文に定められています（上記参照）。
補足：介護保険法の改正によりH24年4月1日から指定都市及び中核都市へ各種権限が移譲されました。それにより、これまで都道府県が行っていた事業者指定権限が指定都市へ移譲されたケースもあります。
４・５ 不正解。→老人福祉法第十五条３ 市町村及び地方独立行政法人（地方独立行政法人法 （平成十五年法律第百十八号）第二条第一項 に規定する地方独立行政法人をいう。第十六条第二項において同じ。）は、厚生労働省令の定めるところにより、あらかじめ、厚生労働省令で定める事項を都道府県知事に届け出て、養護老人ホーム又は特別養護老人ホームを設置することができる。
更に、介護保険事業を行う場合には介護保険法に基づいて都道府県知事（都道府県から権限が移譲されている場合いは指定都市・中核都市）の指定を受ける必要があります。
地方独立行政法人に関しては、地方独立行政法人法 第三章 第一節（業務の範囲） 第二十一条四 社会福祉事業を運営することと定められています。
研修に行った先の施設や近所の施設はどこが運営しているか目を向けると、社会福祉法人だけでなく、市や地方独立行政法人が運営していることもあります。知っていると返答しやすいかもしれません。
