大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問4)

（　エ　）・（　オ　）にあてはまるものを1つ選べ。

（1）1枚の硬貨を繰り返し投げるとき、この硬貨の表裏の出方に応じて、座標平面上の点Pが次の規則1に従って移動するものとする。

＜規則1＞
・点Pは原点O（0，0）を出発点とする。
・点Pのx座標は、硬貨を投げるごとに1だけ増加する。
・点Pのy座標は、硬貨を投げるごとに、表が出たら1だけ増加し、裏が出たら1だけ減少する。

また、点Pの座標を次の記号で表す。
＜記号＞
硬貨をk回投げ終えた時点での点Pの座標（x，y）を（k，y_k）で表す。

座標平面上の点Pの移動の仕方について、例えば、硬貨を1回投げて表が出た場合について考える。このとき、点Pの座標は（1，1）となる。これを図1のように、原点O（0，0）と点（1，1）をまっすぐな矢印で結ぶ。このようにして点Pの移動の仕方を表す。
以下において、図を使用する際には同じように考えることにする。

（ⅰ）硬貨を3回投げ終えたとき、点Pの移動の仕方が条件

y₁≧−1かつy₂≧−1かつy₃≧−1　　・・・・・（＊）

を満たす確率を求めよう。
条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方は図2のようになる。例えば点O（0，0）から点A（2，0）までの点Pの移動の仕方は、点O（0，0）から点（1，1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合と、点O（0，0）から点（1，−1）まで移動したのち点A（2，0）に移動する場合のいずれかであるため、2通りある。このとき、この移動の仕方の総数である2を、四角囲みの中の数字で点A（2，0）の近くに書く。図2における他の四角囲みの中の数字についても同様に考える。
このように考えると、条件（＊）を満たす点Pの移動の仕方のうち、点（3，3）に至る移動の仕方は（　ア　）通りあり、点（3，1）に至る移動の仕方は通（　イ　）りあり、点（3，−1）に至る移動の仕方は（　ウ　）通りある。
よって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たすような硬貨の表裏の出方の総数は
（　ア　）＋（　イ　）＋（　ウ　）
である。
したがって、点Pの移動の仕方が条件（＊）を満たす確率は
（［　ア　］＋［　イ　］＋［　ウ　］）／2³
として求めることができる。

（ⅱ）硬貨を4回投げるとする。このとき、（ⅰ）と同様に図を用いて考えよう。

y₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0である確率は
（　エ　）／（　オ　）となる。
また、y₁≧0かつy₂≧0かつy₃＝1かつy₄≧0である確率は
（　カ　）／（　キ　）となる。
さらに、y₁≧0かつy₂≧0かつy₃≧0かつy₄≧0であったとき、
y₃＝1である条件付き確率は
（　ク　）／（　ケ　）となる。