大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問41 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)

【　シ　】にあてはまるものを1つ選べ。

x、y、zについての二つの式をともに満たす整数x、y、zが存在するかどうかを考えてみよう。

（1）二つの式が

7x＋13y＋17z＝8　　・・・・・①

と

35x＋39y＋34z＝37　　・・・・・②

の場合を考える。①、②からxを消去すると

（　アイ　）y＋（　ウエ　）z＝3　　・・・・・③

を得る。③をy、zについての不定方程式とみると、その整数解のうち、yが正の整数で最小になるのは

y＝（　オ　）、z＝（　カキ　）

である。よって、③のすべての整数解は、kを整数として

y＝（　オ　）−（　クケ　）k、z＝（　カキ　）＋（　コサ　）k

と表される。これらを①に代入してxを求めると

x＝31k−3＋｛（【　シ　】k＋2）／7｝

となるので、xが整数になるのは、kを7で割ったときの余りが（　ス　）のときである。
以上のことから、この場合は、二つの式をともに満たす整数x，y，zが存在することがわかる。