大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）追・再試験
問61 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)

（　ソタ　）・（　チツ　）にあてはまるものを1つ選べ。

P（x）を係数が実数であるxの整式とする。方程式P（x）＝0は虚数1＋√2iを解にもつとする。

（1）虚数1−√2iもP（x）＝0の解であることを示そう。

1±√2iを解とするxの2次方程式でx²の係数が1であるものは

x²−（　ア　）x＋（　イ　）＝0

である。S（x）＝x²−（　ア　）x＋（　イ　）とし、P（x）をS（x）で割ったときの商をQ（x）、余りをR（x）とすると、次が成り立つ。
P（x）＝（　ウ　）
また、S（x）は2次式であるから、m，Nを実数として、R（x）は
R（x）＝mx＋n
と表せる。ここで、1＋√2iが二つの方程式P（x）＝0とS（x）＝0の解であることを用いればR（1＋√2i）＝（　エ　）となるので、x＝1＋√2iを
R（x）＝mx＋nに代入することにより、m＝（　オ　），N＝（　カ　）であることがわかる。したがって、（　キ　）であることがわかるので、1−√2iもP（x）＝0の解である。

（2）k、lを実数として
P（x）＝3x⁴＋2x³＋kx＋l
の場合を考える。このとき、P（x）を（1）のS（x）で割ったときの商をQ（x）、余りをR（x）とすると
Q（x）＝（　ク　）x²＋（　ケ　）x＋（　コ　）
R（x）＝／（k−［　サシ　］）x＋l−（　スセ　）
となる。P（x）＝0は1＋√2iを解にもつので、（1）の考察を用いると
k＝（　ソタ　）、l＝（　チツ　）
である。また、P（x）＝0の1＋√2i以外の解は
x＝（　テ　）−√（　ト　）i，｛−［　ナ　］±（√［　ニ　］）i｝／（　ヌ　）
であることがわかる。