測量士補の過去問 令和5年度（2023年） 問3

（59°59′57″＋60°0′1″＋59°59′59″＋60°0′5″＋59°59′58″）/5

＝60°0′0″＋（－3″＋1″－1″＋5″－2″）/5

＝60°0′0″＋0″

＝60°0′0″

よって、最確値は60°0′0″です。

次に、最確値の標準偏差σ0は

σ0＝√Σv(/n(n−1))

で求められます。

Σv＝（－3）^2＋1^2＋（－1）^2＋5^2＋(－2)^2＝40

σ0＝√（40/5（5-1））＝√2≒1.4

したがって1.4″となります。

辺CAの長さは余弦定理より、

CA^2＝3^2＋8^2－2×3×8×cos60°=49

したがって、CA＝7mとなります。

まず最初に、観測値の最確値を求めます。

最確値は、観測値の平均をとればよいので、観測値の秒を足して、観測回数の5で割ります。

ただし、ここで注意しなくてはならないのは、単位をそろえることです。

つまり、59°59′57″と、60°0′1″の２つの観測値の秒の和を求める場合、57″と1″＝58″で計算すると間違います。正しくは、60°0′1″＝59°59′61″なので、57″と61″＝118″としなくてはなりません。

この点に注意して計算すると、秒の平均は、（57+61+59+65+58）/5＝60″になります。

よって、最確値は、59°59′60″＝60°0′0″になります。

次に標準偏差を求めます。標準偏差は、最確値と観測値の差（絶対値）の二乗を観測値すべてについて足したものを観測回数×（観測回数−1）で割った数値の平方根で計算できます。

そこで、最初に、各観測値と最確値の差とその二乗を求めます。（絶対値で計算しますので、順序にかかわらず、大きい方から小さい方を引きます。）

第1回目　60°00′00″−59°59′57″＝3″　　　　3″²＝9″

第2回目　60°00′01″−60°00′00″＝1″　　　　　1″²＝1″

第3回目　60°00′00″−59°59′59″＝1″　　　　　1″²＝1″

第4回目　60°00′05″−60°00′00″＝5″　　　　　5″²＝25″

第5回目　60°00′00″−59°59′58″＝2″　　　　　2″²＝4″

（9″+1″+1″+25″+4″）/ 5（5−1）＝40″/20＝2″

標準偏差は、上で求めた値の平方根で求められます。

σ＝√2″で、関数表より√2＝1.41421　ですので、もっとも近い値は、1.4″となります。

よって、（ア）には、「1.4″」が入ります。

次に、上記で求めた最確値の角度（60°）を使って、辺ACの長さを計算します。

余弦定理を使います。

余弦定理は、AC²=AB²+BC²−２×AB×BC×cos∠ABCですので、この公式に、問題文で与えられている数値や計算値を代入してゆきます。

AC²＝3²+8²－２×3×8×cos∠60°＝9+64－48×0.5＝49（関数表よりcos∠60°＝0.5です。）

AC＝√AC^2＝√49＝7.0（m）となります。

従って、（イ）には「7.0ｍ」が入ります。

①5回分の測定結果の最確値を求めます。

　これは、測定結果の総和を測定回数で割ることで求められます。　

　（59°59′57″＋60°0′1″＋59°59′59″＋60°0′5″＋59°59′58″）÷5

　＝60°0′0″

②標準偏差を求めます。

　公式は、√Σv(/n(n−1))です。

　Σv＝（－3）^2＋1^2＋（－1）^2＋5^2＋(－2)^2＝40

　よって、標準偏差は、√（40/5（5-1））＝√2≒1.4となります。

③辺CAの長さを三角形の余弦の定理より求めます。

　CA^2=3^2＋8^2－2×3×8×cos60°=49

　よって、CA＝7ｍです。