測量士補の過去問
令和5年度(2023年)
問3
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問題
測量士補試験 令和5年度(2023年) 問3 (訂正依頼・報告はこちら)
次の文の(ア)及び(イ)に入る数値の組合せとして最も適当なものはどれか。次の中から選べ。
なお、関数の値が必要な場合は、<関数表>を使用すること。
三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表3の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値は( ア )となる。
また、表3の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長は( イ )となる。
なお、関数の値が必要な場合は、<関数表>を使用すること。
三角形ABCで∠ABCの角度を同じ条件で5回測定し、表3の結果を得た。このとき、∠ABCの角度の最確値の標準偏差の値は( ア )となる。
また、表3の測定値の最確値を∠ABCの角度とし、辺ABの辺長を3.0m、辺BCの辺長を8.0mとしたとき、辺CAの辺長は( イ )となる。
- ア:1.4″ イ:7.0m
- ア:1.4″ イ:9.8m
- ア:2.8″ イ:5.6m
- ア:2.8″ イ:9.8m
- ア:3.2″ イ:7.0m
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この過去問の解説 (3件)
01
計算問題です。
(59°59′57″+60°0′1″+59°59′59″+60°0′5″+59°59′58″)/5
=60°0′0″+(-3″+1″-1″+5″-2″)/5
=60°0′0″+0″
=60°0′0″
よって、最確値は60°0′0″です。
次に、最確値の標準偏差σ0は
σ0=√Σv(/n(n−1))
で求められます。
Σv=(-3)^2+1^2+(-1)^2+5^2+(-2)^2=40
σ0=√(40/5(5-1))=√2≒1.4
したがって1.4″となります。
辺CAの長さは余弦定理より、
CA^2=3^2+8^2-2×3×8×cos60°=49
したがって、CA=7mとなります。
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02
毎年、測量士補試験の第3問目で出題される、測量で使う基礎数学の問題です。出題パターンはほぼ決まっていますが、今年は、標準偏差の計算を組み合わせた、少し変化のある問題となっています。
まず最初に、観測値の最確値を求めます。
最確値は、観測値の平均をとればよいので、観測値の秒を足して、観測回数の5で割ります。
ただし、ここで注意しなくてはならないのは、単位をそろえることです。
つまり、59°59′57″と、60°0′1″の2つの観測値の秒の和を求める場合、57″と1″=58″で計算すると間違います。正しくは、60°0′1″=59°59′61″なので、57″と61″=118″としなくてはなりません。
この点に注意して計算すると、秒の平均は、(57+61+59+65+58)/5=60″になります。
よって、最確値は、59°59′60″=60°0′0″になります。
次に標準偏差を求めます。標準偏差は、最確値と観測値の差(絶対値)の二乗を観測値すべてについて足したものを観測回数×(観測回数−1)で割った数値の平方根で計算できます。
そこで、最初に、各観測値と最確値の差とその二乗を求めます。(絶対値で計算しますので、順序にかかわらず、大きい方から小さい方を引きます。)
第1回目 60°00′00″−59°59′57″=3″ 3″2=9″
第2回目 60°00′01″−60°00′00″=1″ 1″2=1″
第3回目 60°00′00″−59°59′59″=1″ 1″2=1″
第4回目 60°00′05″−60°00′00″=5″ 5″2=25″
第5回目 60°00′00″−59°59′58″=2″ 2″2=4″
(9″+1″+1″+25″+4″)/ 5(5−1)=40″/20=2″
標準偏差は、上で求めた値の平方根で求められます。
σ=√2″で、関数表より√2=1.41421 ですので、もっとも近い値は、1.4″となります。
よって、(ア)には、「1.4″」が入ります。
次に、上記で求めた最確値の角度(60°)を使って、辺ACの長さを計算します。
余弦定理を使います。
余弦定理は、AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×cos∠ABCですので、この公式に、問題文で与えられている数値や計算値を代入してゆきます。
AC2=32+82-2×3×8×cos∠60°=9+64-48×0.5=49(関数表よりcos∠60°=0.5です。)
AC=√AC2=√49=7.0(m)となります。
従って、(イ)には「7.0m」が入ります。
問題文で、標準偏差を求める公式が与えられていないので、標準偏差を求める公式を覚えていないと、この問題を解くのは難しいです。
過去の問題の標準偏差の問題では、ほとんどの問題で公式が問題文で与えられるのですが、本問は珍しいケースといえます。
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03
この問題は、ある測量の結果の、標準偏差を求めるもの、三角形の公式の知識を求めるものです。
①5回分の測定結果の最確値を求めます。
これは、測定結果の総和を測定回数で割ることで求められます。
(59°59′57″+60°0′1″+59°59′59″+60°0′5″+59°59′58″)÷5
=60°0′0″
②標準偏差を求めます。
公式は、√Σv(/n(n−1))です。
Σv=(-3)^2+1^2+(-1)^2+5^2+(-2)^2=40
よって、標準偏差は、√(40/5(5-1))=√2≒1.4となります。
③辺CAの長さを三角形の余弦の定理より求めます。
CA^2=3^2+8^2-2×3×8×cos60°=49
よって、CA=7mです。
特に角度の計算では、単位が度(°)、分(′)、秒(″)と細かくなりがちです。
計算ミスのないよう注意しましょう。
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