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第三種電気主任技術者「平成30年度(2018年)」の過去問を出題

問題

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次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。

真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q[C]、3Q[C]を与えて帯電させたところ、静電力による( ア )が生じ、図のようにA及びBの中心点間がd[m]離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力F=( イ )[N]、重力mg[N]、糸の張力T[N]、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF2+(mg)2=T2が成り立ち、張力の方向を考えるとF/Tはd/2lに等しい。これらよりTを消去し整理すると、dが満たす式として、
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( 第三種 電気主任技術者試験 平成30年度(2018年) 理論 )

この過去問の解説 (2件)

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導体球A及びBに電荷を与えると両電荷の間にクーロンの法則で力が働きます。
クーロン力は、2つの球の電荷が「同じ極性なら反発力」となり、
2つの球の電荷が「違う極性なら吸引力」となります。

導体球Aの電荷量をQA(C)、導体球Bの電荷量をQB(C)として、
距離をr(m)、両電荷間に働く力をF(N)とすると、
クーロンの法則は次の式となります。

F(N)=k×(QA×QB)/r^2=(QA×QB)/(4πε0×r^2) ---①


この問題では、QAに電荷Q(C)をQBに電荷3Q(C)と「同じ極性」の電荷を帯電させているので、
反発力が生じます。
電荷を帯電させたことによるクーロンの法則で発生する力は、
距離をd(m)とすると、

式①に、QA=Q(C)、QB=3Q(C)、r=d(m)を代入して3、

F=(Q×3Q)/(4πε0×d^2)=3Q^2/(4πε0×d^2) ---②

(ア)には「反発力」が入ります。
(イ)には「3Q^2/(4πε0×d^2)」が入ります。(式②より)


クーロンの法則による力Fと重力(F=mg)で合成される力は、張力Tとつりあいます。
合成力は、張力Tと真反対方向で同じ強さとなります。

このことが、(ウ)で問われています。

問題文より、F^2+(mg)^2=T^2が成り立ち、
張力の方向を考えるとF/Tはd/2lに等しいことが与えられています。

F^2+(mg)^2=T^2が成り立つので、

F^2+(mg)^2=T^2 これを両辺をT^2で割ると
(F/T)^2+(mg/T)^2=1 ---③

張力の方向を考えるとF/Tはd/2lに等しいので、

F/T=d/2l これを左辺をTにして整理すると
T=F/(d/2l) ---④

式④を式③に代入すると、式③は、

F/(F/d/2l)^2+{mg/(F/d/2l)}^2=1
(d/2l)^2+{mg/(F/d/2l)}^2=1
(d/2l)^2+[{mg×(d/2l)}/F]^2=1
(d/2l)^2+(mgd/2lF)^2=1
(mgd/2lF)^2=1-(d/2l)^2

両辺の平方根(√)にすると、
mgd/2lF=√(1-d/2l) ---⑤

式⑤に式②を代入すると、
(mgd/2l)×(4πε0×d^2)/3Q^2=√(1-d/2l)
(4πε0mgd^3/2l)/3Q^2=√(1-d/2l)
(4πε0mg/3Q^2)×d^3/2l=√(1-d/2l)

左辺の分母分子に(2l)^2をかけると、
(4πε0mg/3Q^2)×(2l)^2×d^3/{2l×(2l)^2}=√(1-d/2l)
(4πε0mg/3Q^2)×(2l)^2×d^3/(2l)^3=√(1-d/2l)
(4πε0mg/3Q^2)×(2l)^2×(d/2l)^3=√(1-d/2l)
(4πε0mg/3Q^2)×4l^2×(d/2l)^3=√(1-d/2l)
16πε0mg×l^2/3Q^2×(d/2l)^3=√(1-d/2l) ---⑥

左辺と右辺を反対にして、
√(1-d/2l)=16πε0mg×l^2/3Q^2×(d/2l)^3 ---⑥’

問題文で、k×(d/2l)^3=√(1-d/2l)が与えられています。

これに式⑥’を代入すると、

k×(d/2l)^3=16πε0mg×l^2/3Q^2×(d/2l)^3
k=16πε0mg×l^2/3Q^2

よって、(ウ)は「16πε0mg×l^2/3Q^2」となります。


導体球Aと導体球Bを接触させると、導体球の電荷は移動して2つの導体球は、
同電位となり、QA=QB=2Qとなります。

この時の力F'(N)は距離をd'(m)とすると、
F'=4Q^2/(4πε0×d'^2) ---⑦

接触前の力F(式②)と、接触後の力F'(式⑦)を比べると、
F:F'=3/d:4/d'となります。

導体Aと導体Bの合計の電荷量は変わらないので、
F=F'より

d:d'=3:4となり、接触前に比べ、距離dは増加します。

よって、(エ)は「増加」になります。


(ア)反発力、(イ)3Q^2/(4πε0×d^2)、(ウ)16πε0mg×l^2/3Q^2、(エ)増加
となりますので

答えとなる選択肢は、「1」になります。
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解答・解説
真空中において、真空の誘電率ε0[F/m]、距離r[m]、電荷Q1[C]、Q2[C]の間には
F=(Q1×Q2)/(4π×ε0×r^2)[N]
の大きさの力F[N]が働きます。
ここでQ1とQ2は同符号ですと反発力、異符号ですと吸引力として働きます。
よって(ア)は「反発力」となります。
問題文よりQ1=Q、Q2=3Q、r=dとして(1)式に代入すると個々の導体球に働く力F[N]は
F=3Q^2/(4πε0×d^2)[N] ・・・・・(1)
となりますので(イ)は「3Q^2/(4πε0×d^2)」となります。

題意より
F^2+(mg)^2=T^2・・・・・(2)
F/T=d/2l・・・・・(3)
が与えられていますので、(2)式の両辺をT^2で割って
(F/T)^2+(mg/T)^2=1
(3)式をT=(2l/d)×Fと変形して代入しますと
(d/2l)^2+(mgd/2lF)^2=1
Fは(1)式を代入して
(d/2l)^2+(mgd/2l×4πε0d^2/3Q^2)^2=1
式を問題の形に整理すると
(4πε0mg/3Q^2)×(d^3/2l)=√(1-(d/2l)^2)
(4πε0mg(2l)^2/3Q^2)×(d/2l)^3=√(1-(d/2l)^2)
(16πε0mgl^2/3Q^2)×(d/2l)^3=√(1-(d/2l)^2)
よって、(ウ)はk=「16πε0mgl^2/3Q^2」となります。

AとBを一旦接触させた時、同電位となったのでQA=QB=2Qとなります。
二つの導体に働く力F’[N]は距離をd’[m]として
F’=4Q^2/(4πε0×d’^2)[N]
となります。
接触前の(1)式と比べると分子が増加しているので、釣り合いをとるためには分母も増加しなければなりません。分母の変動要素は距離しかありませんので距離は(エ)「増加」します。

よって答えは1番となります。
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