大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問111 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7)

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

∠OCQが直角なので、(→OC)⊥(→CQ)です。

よって、垂直条件（内積が0）　

　→OC・→CQ=0

をこの問題では使用します。

問題文より、→OC＝−(→OA)

（カ）・（キ）より、→CQ=(k−kt+1)(→OA)+kt(→OB)

の2つがわかっているので、この二つのベクトルの内積を計算します。

　→OC・→CQ=−(→OA)・｛(k−kt+1)(→OA)+kt(→OB)｝

展開すると、

　→OC・→CQ=−(k−kt+1)|→OA|²−kt(→OA・→OB)

ここでOAは円の半径より|→OA|=1、問題文より→OA・→OB=-2/3より、

　→OC・→CQ=−(k−kt+1)・1²−kt(−2/3)=(5t/3−1)k−1

となります。

これが0になるので、

　(5t/3−1)k−1=0

k＝の形に変形して、k=3/(5t-3)となります。