大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問51 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問7)

以下（　ク　）に当てはまるものを選べ。

（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（　ア　）のときである。

（2）三つの整数k、l、mが

0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11

を満たすとする。このとき

（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385）　　・・・・・・①

が整数となるk、l、mを求めよう。

①の値が整数のとき、その値をnとすると

（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n　　・・・・・・②

となる。②の両辺に385を掛けると

77k＋55l＋35m＝1＋385n　　・・・・・・③

となる。これより

77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1

となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（　ア　）である。

同様にして

55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1

および

35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1

であることに注意すると、l＝（　イ　）およびm＝（　ウ　）が得られる。
なお、k＝（　ア　）、l＝（　イ　）、m＝（　ウ　）を③に代入するとn＝2であることがわかる。

（3）三つの整数x、y、zが

0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11

を満たすとする。次の形の整数

77✕（　ア　）✕x＋55✕（　イ　）✕y＋35✕（　ウ　）✕z

を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（　ア　）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（　エ　）となる。同様にしてy＝（　オ　）、z＝（　カ　）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを

p＝77✕（　ア　）✕x＋55✕（　イ　）✕y＋35✕（　ウ　）✕z

で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。

（4）整数pを（3）で定めたものとする。p^aを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、p^bを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（　キ　）となる。さらに、p^cを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（　ク　）である。
p⁸を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p⁸を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（　ケコサ　）であることがわかる。