大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)

（　ニヌ　）、［　ネノ　］、［　ハ　］にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

（2）半径が5である球Sがある。この球面上に3点P、Q、Rをとったとき、これらの3点を通る平面a上でPQ＝8、QR＝5、RP＝9であったとする。
球Sの球面上に点Tを三角錐（すい）TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を求めよう。

まず、cos∠QPR＝（　タ　）／（　チ　）であることから、ΔPQRの面積は
（　ツ　）√（　テト　）である。
次に、点Tから平面aに垂直な直線を引き、平面aとの交点をHとする。このとき、PH、QH、RHの長さについて、（　ナ　）が成り立つ。
以上より、三角錐TPQRの体積は（　ニヌ　）（√［　ネノ　］＋√［　ハ　］）である。