大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問25 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問12)

（　チ　）については、最も適当なものを、次のうちから一つ選べ。

〔2〕太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。

＜仮定＞
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A（3.8，3）、右端を点B（4.2，3）とし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの中心がABの中点M（4，3）を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点P₀（0，3）にあるものとする。また、P₀，Mを通る、上に凸の放物線をC₁とし、PはC₁上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点H₀（0，2）にあるものとする。また、H₀，Mを通る、上に凸の放物線をC₂とし、HはC₂上を動くものとする。
・放物線C₁やC₂に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。

（1）放物線C₁の方程式におけるx²の係数をaとする。放物線C₁の方程式は

y＝ax²−（　キ　）ax＋（　ク　）

と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は

—（　ケ　）a＋（　コ　）

である。

プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、正しいものは（　サ　）である。

（2）二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。

太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子：Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎：なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図のように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子：放物線C₁とC₂がDを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。

図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの交点をDとする。このとき、AD＝√3／15である。
よって、放物線C₁がDを通るとき、C₁の方程式は

y＝−［　シ　］√［　ス　］／［　セソ　］（x²−［　キ　］x）＋［　ク　］

となる。

また、放物線C₂がDを通るとき、（1）で与えられたC₂の方程式を用いると、花子さんの「シュ−トの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C₁とC₂がDを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、（　タ　）の「シュートの高さ」のほうが大きく、その差はボール（　チ　）である。なお、√3＝1.7320508・・・である。