大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問69 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5)
問題文
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問69（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ キ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 0
- （1／3）k
- （1／2）k
- （2／3）k
- k
- （3／2）k
- −4k2
- （1／8）k2
- （2／27）k3
- （4／27）k3
- （4／9）k3
- 4k3
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この過去問の解説 （1件）
01
f′(x)=0 より
x(−3x+2k)=0
x=0 または x=2k/3
2階導関数
f″(x) = −6x+2k
x = 2k/3のとき
f″(2k/3) = −6(2k/3)+2k =−4k+2k=−2k < 0 より、極大値をとります。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
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この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。
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基本的な微分のやり方を確認しておきましょう
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