大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問96 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問6)

（　カ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をa_n万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a₁＝10＋p、a₂＝1.01（10＋p）＋pである。

（1）a_nを求めるために二つの方針で考える。

＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。

3年目の初めの預金a₃万円について、a₃＝（　ア　）である。すべての自然数nについて
a_n＋1＝（　イ　）a_n＋（　ウ　）
が成り立つ。これは
a_n＋1＋（　エ　）＝（　オ　）（a_n＋［　エ　］）
と変形でき、a_nを求めることができる。

＜方針2＞
もともと預金口座にあった10万円と毎年の初めに入金したp万円について、n年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。

もともと預金口座にあった10万円は、2年目の初めには10✕1.01万円になり、3年目の初めには10✕1.01²万円になる。同様に考えるとn年目の初めには10✕1.01ⁿ⁻¹万円になる。