大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問99 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問9)

mを0ではない定数とする。座標平面において、2本の直線
y＝2x　　・・・・・①
y＝mx＋4　　・・・・・②
を考える。
原点（0，0）をQ₀、点（0，4）をP₁とし、次の手順で点Q₁、P₂、Q₂、…、P_n、Q_n、P_n＋1、…を定める。

＜手順＞
・P₁からx軸に平行な直線を引いて、直線①との交点をQ₁とする。
・Q₁からy軸に平行な直線を引いて、直線②との交点をP₂とする。
　　・・・
・P_nからx軸に平行な直線を引いて、直線①との交点をQ_nとする。
・Q_nからy軸に平行な直線を引いて、直線②との交点をP_n＋1とする。
　　・・・

（2）m＝−1とする。すなわち、②はy＝−x＋4である。自然数nについて、
P_nのy座標をb_nとする。

（ⅰ）数列｛b_n｝について、b₁＝（　ク　）かつ
b_n＋1＝（［　ケコ　］／［　サ　］）b_n＋（　シ　）　　（n＝1、2、3、…）

となる。よって、数列｛b_n｝の一般項は
b_n＝（［　ス　］／［　セ　］）（［　ソタ　］／［　チ　］）^＞n−1＋（［　ツ　］／［　テ　］）
となる。

（ⅱ）自然数nについて、Q_n−1とP_nを結ぶ線分の長さをc_nとし、P_nとQ_nを結ぶ線分の長さをd_nとする。Q₀、P₁、Q₁、P₂、…、P_n、Q_nを順に結んだ折れ線の長さをS_nとおく。S_n＝c₁＋d₁＋c₂＋d₂＋…＋c_n＋d_nである。
すべての自然数nについて、d_nをc_nを用いて表すと、d_n＝（　ト　）である。また、数列｛c_n｝について
c_n＋1＝（　ナ　）　　（n＝1、2、3、…）
が成り立つ。このことを用いると
S_n＝（　ニ　）　　（n＝1、2、3、…）
となる。

（　ナ　）にあてはまるものを1つ選べ。