大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問5 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問5)

乗法公式 (x±y)² = x²±2xy+y²

これを利用します。

aとbを1つのかたまりと見て展開すると

(a+b+c)²

= { (a+b)+c }²

= (a+b)²+2(a+b)c+c²

= a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²

= a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca 

したがって

(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca です。

この式の左辺に①を代入すると

(a+b+c)² = 1² = 1 になります。

この式の右辺に②を代入すると

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

= 13+2(ab+bc+ca) になります。

なので 1 = 13+2(ab+bc+ca) という式ができます。

この式を移項すると

2(ab+bc+ca) = −12

両辺を2で割ると

ab+bc+ca = −6

また、次の式を展開すると

(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²

= a²−2ab+b²+b²−2bc+c²+c²−2ca+a²

= 2a²+2b²+2c²−2ab−2bc−2ca

= 2(a²+b²+c²)−2(ab+bc+ca)

したがって

(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²

= 2(a²+b²+c²)−2(ab+bc+ca) です。

この式の右辺に a²+b²+c² = 13 と

ab+bc+ca = −6 をそれぞれ代入すると

2(a²+b²+c²)−2(ab+bc+ca)

= 2×13 −2×(−6) = 26+12 = 38

したがって (a−b)²+(b−c)²+(c−a)² = 38 です。

また、 b−c = x , c−a = y とおくと

x²+y² = (b−c)²+(c−a)²

(a−b)²+(b−c)²+(c−a)² = 38 に

a−b = 2√5 を代入すると

(2√5)²+(b−c)²+(c−a)² = 38

20+(b−c)²+(c−a)² = 38

(b−c)²+(c−a)² = 18

したがって x²+y² = 18 です。
 

また、 乗法公式 (x+y)² = x²+2xy+y² に

x+y = −2√5 , x²+y² = 18 を代入すると

(−2√5)² = 18+2xy

20 = 18+2xy

2xy = 2

xy = 1

(a−b)(b−c)(c−a) に a−b = 2√5 ,

b−c = x , c−a = y をそれぞれ代入すると

(a−b)(b−c)(c−a)

= 2√5 xy

= 2√5×1 = 2√5

よって、 (a−b)(b−c)(c−a) = 2√5 が正解です。