大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問19 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問2)
問題文
以下（ イウ ）・（ エ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問19（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ イウ ）・（ エ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
- イウ：25 エ：2
- イウ：26 エ：5
- イウ：27 エ：4
- イウ：29 エ：6
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この過去問の解説 （1件）
01
AP=xとして辺の長さを求めると、
PB =5-x
PB=PQより、
BQ=5-x
BC=6より、
QC=BC-BQ=6-(5-x)=1+x
QC=CRより、
CR=1+x
CD=5より
RD=5-(1+x)=4-x
となります。
ここで四角形の面積をもとめます。三平方の定理(1:1:√2)より
QR=√2QC, RS=√2RD
を用います。
四角形の面積をSとおくと、
S=QR×RS=√2QC×√2RD=2QC×RD=2(1+x)(4-x)=-2(x+1)(x-4)=-2(x2-3x-4)
これを平方完成すると、
-2{ (x-3/2)2-(25/4) }=-2(x-3/2)2+(25/2)
となり、
x=3/2のとき、最大値25/2を取ります。
0≦AP(=x)<4より、この値は有効です。
25/2より正解です。
25/2より誤りです。
25/2より誤りです。
25/2より誤りです。
動く辺の長さAPをひとつxとすると、残りの辺の長さはすべてxでかけます。
このおかげで面積が2次関数で表す事ができるので、最大値を求める事ができます。
また、二次関数の最大・最小値を求める時は平方完成を行うことも忘れないようにしましょう。
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