大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問20 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3)

前までの問題と全く同じ解き方です。

AP=xとして辺の長さを求めると、

　PB =5-x

PB=PQより、

　BQ=5-x

BC=8より、

　QC=BC-BQ=8-(5-x)=3+x

QC=CRより、

　CR=3+x

CD=5より

　RD=5-(3+x)=2-x

となります。

また、四角形が存在するxの値の範囲を求めておきましょう。

RD>0となるのは

　2-x>0 つまり x<2です。

よって、0≦x<2の範囲にxがあれば四角形が存在します。

ここで四角形の面積をもとめます。三平方の定理(1:1:√2)より

　QR=√2QC, RS=√2RD

を用います。

四角形の面積をSとおくと、

　S=QR×RS=√2QC×√2RD=2QC×RD=2(3+x)(2-x)=-2(x+3)(x-2)=-2(x²+x-6)

これを平方完成すると、

　-2{ (x+1/2)²-(25/4) }=-2(x+1/2)²+(25/2)

となり、

　x=-(1/2)のとき、最大値25/2を取ります。

しかしx<0となるので、この値では点PはAB上に存在しません。

ここで、

　y=-2(x+1/2)²+(25/2)
のグラフ（下）で考えます。

0≦x<2の範囲でyの値が最大となるのは、グラフよりx=0のときです。

このときのyの値は、

　y=-2(1/2)²+(25/2)=12

よって、x=0のとき最大値12を取ります。