大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問46 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2)

以下（　イ　）に当てはまるものを選べ。

（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（　ア　）のときである。

（2）三つの整数k、l、mが

0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11

を満たすとする。このとき

（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385）　　・・・・・・①

が整数となるk、l、mを求めよう。

①の値が整数のとき、その値をnとすると

（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n　　・・・・・・②

となる。②の両辺に385を掛けると

77k＋55l＋35m＝1＋385n　　・・・・・・③

となる。これより

77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1

となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（　ア　）である。

同様にして

55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1

および

35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1

であることに注意すると、l＝（　イ　）およびm＝（　ウ　）が得られる。
なお、k＝（　ア　）、l＝（　イ　）、m＝（　ウ　）を③に代入するとn＝2であることがわかる。