大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問76 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問15)
問題文
以下（ ノ ）にあてはまるものを選べ。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問76（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問15） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ノ ）にあてはまるものを選べ。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
- −1＜q＜1
- 0＜q＜1
- −2＜q＜2
- 0＜q＜2
- 実数全体
- 正の実数全体
- —sinπ／7＜q＜sinπ／7
- 0＜q＜sinπ／7
- —cosπ／7＜q＜cosπ／7
- 0＜q＜cosπ／7
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この過去問の解説 （1件）
01
三角関数の加法定理を用いて
sin｛θ＋（π／7）｝を変形すると、次のようになります。
sin｛θ＋（π／7）｝=sinθcos（π／7）+cosθsin（π／7）・・・(1)
q=sin｛θ＋（π／7）｝／cosθに(1)を代入すると、次のようになります。
q=tanθcos（π／7）+sin（π／7）・・・(2)（ただし、tanθ=sinθ/cosθとした）
tanθのとり得る値を考えるとθ→-π／2のとき、tanθは負の無限大に発散し、θ→π／2のとき、tanθは正の無限大に発散します。
つまり、tanθは−π／2＜θ＜π／2の範囲において、すべての実数をとり得ることが分かります。
cos（π／7）、sin（π／7）はいずれも正の実数なので
qがとり得る値の範囲は実数全体になります。
（ノ：実数全体）
不正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
負の実数も取り得ます。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
qの式を適切な形に変形し、tanθがとり得る値の範囲を考えることがポイントです。
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