大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問77 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)
問題文
以下（ ハ ）にあてはまるものを選べ。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
（3）aは0≦a＜2πを満たすとし
sin（θ＋a）／cosθ＝r
とおく。a＝π／7の場合、rは（2）で定めたqと等しい。
aの値を一つ定め、−π／2＜θ＜π／2の範囲でθのみを動かすとき、rのとり得る値の範囲を考える。
rのとり得る値の範囲がqのとり得る値の範囲と異なるような
a（0≦a＜2π）は（ ハ ）。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
（3）aは0≦a＜2πを満たすとし
sin（θ＋a）／cosθ＝r
とおく。a＝π／7の場合、rは（2）で定めたqと等しい。
aの値を一つ定め、−π／2＜θ＜π／2の範囲でθのみを動かすとき、rのとり得る値の範囲を考える。
rのとり得る値の範囲がqのとり得る値の範囲と異なるような
a（0≦a＜2π）は（ ハ ）。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問77（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ハ ）にあてはまるものを選べ。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
（3）aは0≦a＜2πを満たすとし
sin（θ＋a）／cosθ＝r
とおく。a＝π／7の場合、rは（2）で定めたqと等しい。
aの値を一つ定め、−π／2＜θ＜π／2の範囲でθのみを動かすとき、rのとり得る値の範囲を考える。
rのとり得る値の範囲がqのとり得る値の範囲と異なるような
a（0≦a＜2π）は（ ハ ）。
θは−π／2＜θ＜π／2を満たすとする。
（2）花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
花子：−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、tanθのとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎:tanθ＝sinθ／cosθだけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
sin2θ／cosθ＝p、 sin｛θ＋（π／7）｝／cosθ＝qとおく。
−π／2＜θ＜π／2の範囲でθを動かすとき、pのとり得る値の範囲は（ ネ ）であり、qのとり得る値の範囲は（ ノ ）である。
（3）aは0≦a＜2πを満たすとし
sin（θ＋a）／cosθ＝r
とおく。a＝π／7の場合、rは（2）で定めたqと等しい。
aの値を一つ定め、−π／2＜θ＜π／2の範囲でθのみを動かすとき、rのとり得る値の範囲を考える。
rのとり得る値の範囲がqのとり得る値の範囲と異なるような
a（0≦a＜2π）は（ ハ ）。
- 存在しない
- ちょうど1個存在する
- ちょうど2個存在する
- ちょうど3個存在する
- ちょうど4個存在する
- 5個以上存在する
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この過去問の解説 （1件）
01
加法定理を用いて、前問同様にrの式を変形すると次のようになります。
r=(sinθcosa+cosθsina/cosθ)/cosθ=tanθcosa+sina
前問では、−π／2＜θ＜π／2においてtanθがすべての実数をとり得るため
q=tanθcos（π／7）+sin（π／7）がとり得る値はすべての実数でした。
今回の問題で、前問と異なるのは、tanθにかけられているcosaが変数であるということです。
0≦a＜2πでcosaがとり得る値は-1≦cosa≦1です。
cosaが0以外の値をとる場合は、前問同様、rも実数全体をとり得ます。
しかし、cosa=0のときはどうでしょうか？
cosa=0のとき、tanθcosaの項は０になり、r＝sina（定数）となり、qがとり得る値の範囲と異なります。
cosa=0となるのは、0≦a＜2πにおいてa=π/2,3π/2のときです。
したがって、rのとり得る範囲がqのとり得る値の範囲と異なるaは2つ存在します。
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
θやaなど変数が複数出てきてやや複雑になりますが、「前問と異なるのはどの部分か」が読み取れれば解き進められます。
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