大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問59 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問11)

〔1〕三角関数の値の大小関係について考えよう。

（2）sinxとsin2xの値の大小関係を詳しく調べよう。
sin2x−sinx＝sinx（［　ウ　］cosx−［　エ　］）
であるから、sin2x−sinx＞Oが成り立つことは
「sinx＞0　かつ　（　ウ　）cosx−（　エ　）＞0」　　・・・・・①
または
「sinx＜0　かつ　（　ウ　）cosx−（　エ　）＜0」　　・・・・・②
が成り立つことと同値である。0≦x≦2πのとき、①が成り立つようなxの値の範囲は
0＜x＜π／（　オ　）
であり、②が成り立つようなxの値の範囲は
π＜x＜（［　カ　］／［　キ　］）π
である。よって、0≦x≦2πのとき、sin2x＞sinxが成り立つようなxの値の範囲は

0＜x＜π／（　オ　）、

π＜x＜（［　カ　］／［　キ　］）π

である。

（3）sin3xとsin4xの値の大小関係を調べよう。
三角関数の加法定理を用いると、等式
sin（α＋β）−sin（α−β）＝2cosαsinβ　　・・・・・③
が得られる。α＋β＝4x、α−β＝3xを満たすα、βに対して③を用いることにより、sin4x−sin3x＞Oが成り立つことは
「cos（　ク　）＞O　かつ　sin（　ケ　）＞O」　　・・・・・④

または
「cos（　ク　）＜O　かつ　sin（　ケ　）＜O」　　・・・・・⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。
O≦x≦πのとき、④、⑤により、sin4x＞sin3xが成り立つようなxの値の範囲は

O＜x＜π／（　コ　）、

（［　サ　］／［　シ　］）π＜x＜（［　ス　］／［　セ　］）π

である。

（4）（2）、（3）の考察から、0≦x≦πのとき、sin3x＞sin4x＞sin2xが成り立つようなxの値の範囲は
π／（　コ　）＜x＜π／（　ソ　）、（［　ス　］／［　セ　］）π＜x＜（［　タ　］／［　チ　］）π

であることがわかる。

（　タ　）、（　チ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。