大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問17)

〔2〕S（x）をxの2次式とする。xの整式P（x）をS（x）で割ったときの商をT（x）、余りをU（x）とする。ただし、S（x）とP（x）の係数は実数であるとする。

（2）方程式S（x）＝0は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき
　P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと同値な条件を考える。

（ⅰ）余りが定数になるときを考えてみよう。
仮定から、定数kを用いてU（x）＝kとおける。このとき、（　チ　）。
したがって、余りが定数になるとき、（　ツ　）が成り立つ。

（ⅱ）逆に（　ツ　）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。
S（x）が2次式であるから、m、nを定数としてU（x）＝mx＋nとおける。P（x）をS（x）、T（x）、m、nを用いて表すと、P（x）＝（　テ　）となる。この等式のxにα、βをそれぞれ代入すると（　ト　）となるので、（　ツ　）とα≠βより（　ナ　）となる。以上から余りが定数になることがわかる。

（ⅰ）、（ⅱ）の考察から、方程式S（x）＝0が異なる二つの解α、βをもつとき、P（x）をS（x）で割った余りが定数になることと（　ツ　）であることは同値である。

（3）pを定数とし、P（x）＝x¹⁰−2x⁹−px²−5x、S（x）＝x²−x−2の場合を考える。P（x）をS（x）で割った余りが定数になるとき、p＝（　ニヌ　）となその余りは（　ネノ　）となる。

（　ネノ　）にあてはまるものを1つ選べ。