大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問14)

解答　（a）偽　　（b）真

解説

(a)は偽です。前問(1)の問題が反例となっています。

長さ4の辺を持ち、面積が3√3/4、外接円の半径が4√3/3となるような

三角形が2通りできることを(1)で扱っています。

(1)で考えたことを一般化してみましょう。

ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より

BC/(sin ∠BAC) = 2R　つまり　sin ∠BAC = BC/2R

であり、BCとRの値を指定すると、sin ∠BACの値が定まります。

sin ∠BAC=1のときは∠BAC=90°に定まりますが、

それ以外のときは条件を満たす∠BACは2通り存在し、

面積を定めてもAB・ACの値が決まるだけで、

この2通りをどちらか一方に絞りこむことはできません。

つまり、一組の辺、面積、外接円の半径の値を指定すると、

その条件を満たすような三角形は最大で2通り作れることがわかります。

(b)は真です。

△ABCと△DEFについて、

①角A=角D

②面積はそれぞれ等しい

③外接円の半径はそれぞれ等しい

の3つが成り立っているとします。

このとき、外接円の半径をRとして、正弦定理より

2R=BC/sinA=EF/sinD

が成り立ちます。さらに①から

BC=EF　…④

となります。

④②③より、△ABCと△DEFは

「一組の辺、面積、外接円の半径がそれぞれ等しい」と言えて、

(a)で考えたように最大2通りの三角形ができます。

①の条件により、2通りできた場合は一方に絞られるため、

△ABCと△DEFは必ず合同になります。