大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)

解答　ヒ：5　フへ：13

解説

ナに当てはまるのは「3」、つまり「AB・AC＝3」でした。

ハに当てはまるのは「5」、つまり「AC＝5-AB」でした。

AB・AC＝3にAC＝5-ABを代入して、

AB(5-AB)=3

5AB-AB²=3

AB²-5AB+3=0

2次方程式の解の公式を用いてこれを解くと、

AB=(5±√13)/2

よって答えは「ヒ：5　フへ：13」となります。

補足

テ:60°　ナ:3　ニヌ:19　ネノ:25　ハ:5です。

以下はテ・ナ・ニ・ヌ・ネ・ノ・ハの解説です(前問の解説より引用)。

解答　テ：60°　(小さい方を解答)

 

解説

正弦定理を用いる問題です。

 

ΔABCの外接円の半径をRとおくと、正弦定理より

BC/(sin ∠BAC) = 2R

つまり

sin ∠BAC = BC/2R 

であり、これにBC=4とR=4√3／3を代入して

sin ∠BAC = 4/(8√3/3) = 12/(8√3) = 12√3/24 = √3/2

 

sin ∠BAC = √3/2 となるのは ∠BAC = 60°、120°

 

この問題では小さい方を答えるので、答えは「テ：60°」です。

解答　ナ：3

 

解説

三角比を用いた三角形の面積公式を扱う問題です。

 

三角形ABCの面積をSとすると、公式より

 

S=(1/2)AB・AC・sin∠BAC

つまり

AB・AC=2S/(sin∠BAC)

 

であり、問題文よりS=3√3/4、

前問の解答よりsin∠BAC=√3/2であるから、

 

AB・AC

=2S/(sin∠BAC)

=(3√3／2)/(√3/2)

=(3√3／2)・(2/√3)

=3

 

よって答えは「ナ：3」となります。

解答　ニヌ：19

 

解説

テに当てはまるのは「60°」、ナに当てはまるのは「3」でした。

つまり、∠BAC＝60°（ひいてはcos∠BAC=1/2）、AB・AC＝3として以下考えます。

 

余弦定理より

BC²=AB²+AC²-2・AB・AC・cos∠BAC

変形して

AB²+AC²=BC²+2・AB・AC・cos∠BAC

 

これにBC=4、AB・AC=3、cos∠BAC=1/2を代入して

AB²+AC²=42+2・3・(1/2)=16+3=19

 

よって答えは「ニヌ：19」となります。

解答　ネノ:25　ハ:5

 

解説

前問より、ナに当てはまるのは3、つまり「AB・AC＝3」でした。

また、ニヌに当てはまるのは19、つまり「AB²＋AC²＝19」でした。

 

これらを用いて計算すると、

（AB＋AC）²

=AB²+2・AB・AC+AC²

=(AB²+AC²)+2・AB・AC

=19+2・3=25　(これがネノの答え)

となり、

（AB＋AC）²=5²

という式を得ます。AB＋AC>0に注意して

AB＋AC=5

変形して

AC=5-AB　(これがハの答え)

となります。

 

答えをまとめると、「ネノ:25　ハ:5」となります。