大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問47 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2)
問題文
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問47（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ イ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- AO
- AQ
- BH
- BO
- CH
- CO
- CQ
- HO
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この過去問の解説 （2件）
01
解答 イ：CQ
解説
問題設定にしたがってA、B、C、D、E、H、O、P、Q、Rを描くと、
以下の図のようになります。
（内心Iはこの問題では使わないので省略しています）
直線BCに垂直な直線は、
・直線AH(=直線AD) （垂心の定義から）
・直線BR （CRが直径だから角CBRが直角）
・直線CQ （BQが直径だから角BCQが直角）
です。
よって答えは「イ：CQ」となります。
この選択肢が答えとなります。
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02
外心の性質からAP,BQ,CRが円Oの直径であることがわかればすぐに答えがわかるはずです。
Oは外心のためAOはBCに垂直になりません。
QはBの対象な点のためAQはBCに垂直になりません。
BHはACに垂直のためBHはBCに垂直になりません。
Oは外心のためBOはBCに垂直になりません。
CHはABに垂直のためBCに垂直になりません。
Oは外心のためCOはBCに垂直になりません。
BCが円Oの直径になり、円周角の定理から∠BCQが直角となりCQはBCに垂直であると言えます。
外心と垂心を結んだものは各辺に垂直になりません。
共通テストはきちんと問題を整理し、図に表し、理解していくことから始められます。落ち着いて問題を読みましょう。
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