大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問46 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1)
問題文
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問46（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ ア ）にあてはまるものを1つ選べ。
- AO
- AQ
- BH
- BO
- CH
- CO
- CQ
- HO
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この過去問の解説 （2件）
01
解答 ア：BH
解説
問題設定にしたがってA、B、C、D、E、H、O、P、Q、Rを描くと、
以下の図のようになります。
（内心Iはこの問題では使わないので省略しています）
直線ACに垂直な直線は、
・直線AR （CRが直径だから角CARが直角）
・直線CP （APが直径だから角ACPが直角）
・直線BH(=直線BE) （垂心の定義から）
です。
よって答えは「ア：BH」となります。
この選択肢が答えとなります。
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02
五心に関わる問題です。特に重心、外心、内心の定義や性質が曖昧な人は再確認しておくと良いでしょう。余力がある人は、本問題でも扱われた垂心についても学習してみてください。
外心は各辺の垂直二等分線の交点です。
つまりACの中点とOを結んだものが垂直になるためAOは垂直になりません。
QはOに関してBの対象な点であり、BQは円Oの直径になります。
円周角の定理から∠BAQが直角となり、∠CAQは直角にはなりません。
頂点Bと垂心Hを結んだものはACに垂直になります。垂心については問題上で解説があるため省きます。
Oは外心のためBOはACとは垂直になりません。
CHが垂直になるのはABです。
Oは外心のためCOはACとは垂直になりません。
QはOに関してBの対象な点であり、BQは円Oの直径になります。
円周角の定理から∠BCQが直角となり、∠QCAは直角にはなりません。
HOがACに垂直になる時はB、O、Hが一直線上に並んでいる時のみです。
垂心については問題内で解説がありましたが、外心については触れられていません。しっかり重要事項を覚えて取り組みましょう。
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