大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問45 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問10)
問題文
a、b、cは3≦a≦6、0≦b≦6、1≦c≦4を満たす整数で、さらにc＋1＜aを満たすとする。Mを7進法でabc（7）と表される自然数とし、abc（7）のaとcを入れ替えてcba（7）と表される自然数をNとする。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問45（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
a、b、cは3≦a≦6、0≦b≦6、1≦c≦4を満たす整数で、さらにc＋1＜aを満たすとする。Mを7進法でabc（7）と表される自然数とし、abc（7）のaとcを入れ替えてcba（7）と表される自然数をNとする。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ セ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- 0
- 1
- 2
- a−c
- a−c−1
- 5
- 6
- b
- 7−a＋c
- 6−b
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この過去問の解説 （1件）
01
解答 セ：6
解説
X＝def（7） つまり X=d・72+e・71+f・70=d・72+e・7+f
Y=fed（7） つまり Y=f・72+e・71+d・70=f・72+e・7+d
したがって
X+Y=(d・72+e・7+f)+(f・72+e・7+d)=(d+f)・72+2e・7+(d+f)
となります。
前問までで ク:a−c ケ:c−a コ:6 を得ました。つまり
d＝a−c−1、e＝6、f＝7＋c−a
となります。これをX+Yに代入して、
X+Y
=(d+f)・72+2e・7+(d+f)
=6・72+12・7+6
=6・72+(7+5)・7+6 (※)
=6・72+72+5・7+6
=7・72+5・7+6
=73+5・7+6
=1・73+0・72+5・71+6・70
したがって X＋Y＝1056（7）
つまり p=1、q=0、r=5、s=6 となります。
よって答えは「セ：6」となります。
なお、もし(※)以降の変形が思いつけなければ、
X+Y=384
と計算して、これを7進数に変換してもよいでしょう。
補足
以下は「ク:a−c ケ:c−a コ:6」の解説になります（前問より引用）。
X=(a-c-1)・72+6・72+7+(c-a)
下線部が左から順にク・コ・ケとなります。
この選択肢が答えとなります。
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