大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問49 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4)
問題文
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ⅱ）BD：DC＝4：1およびAE：EC＝2：3であるとする。ΔADCと直線BEに着目すると
AH／HD＝（ ウ ）／（ エ ）
である。よって、このことと（ⅰ）から、ΔARBの面積はΔABCの面積の（ オ ）／（ カキ ）倍であることがわかる。
（ オ ）、（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ⅱ）BD：DC＝4：1およびAE：EC＝2：3であるとする。ΔADCと直線BEに着目すると
AH／HD＝（ ウ ）／（ エ ）
である。よって、このことと（ⅰ）から、ΔARBの面積はΔABCの面積の（ オ ）／（ カキ ）倍であることがわかる。
（ オ ）、（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問49（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした三つの垂線は1点で交わることが知られている。この点を三角形の垂心という。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ⅱ）BD：DC＝4：1およびAE：EC＝2：3であるとする。ΔADCと直線BEに着目すると
AH／HD＝（ ウ ）／（ エ ）
である。よって、このことと（ⅰ）から、ΔARBの面積はΔABCの面積の（ オ ）／（ カキ ）倍であることがわかる。
（ オ ）、（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
ΔABCの外心をO、垂心をH、内心をIとする。点Oに関して、点A、B、Cと対称な点を、それぞれP、Q、Rとする。直線AHと直線BCとの交点をD、直線BHと直線ACとの交点をEとする。
（1）ΔABCを三つの辺の長さがすべて異なる鋭角三角形とする。
（ⅰ）直線ACは、三つの直線AR、CP、（ ア ）のそれぞれと垂直である。また、直線BCは、三つの直線AH、BR、（ イ ）のそれぞれと垂直である。
（ⅱ）BD：DC＝4：1およびAE：EC＝2：3であるとする。ΔADCと直線BEに着目すると
AH／HD＝（ ウ ）／（ エ ）
である。よって、このことと（ⅰ）から、ΔARBの面積はΔABCの面積の（ オ ）／（ カキ ）倍であることがわかる。
（ オ ）、（ カキ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- オ：3 カキ：10
- オ：4 カキ：11
- オ：5 カキ：12
- オ：6 カキ：13
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （1件）
01
解答 オ：4 カキ：11
解説
「ΔARBの面積がΔABCの面積の何倍であるか」を求める問題です。
前問までの答えは「ア:BH イ:CQ ウ：5 エ：6」です。
(i)より
・直線AR、CP、BHは直線ACに垂直
・直線AH、BR、CQは直線BCに垂直
です。このことより、
・直線ARとBHは平行
・直線AHとBRは平行
と言えます。
よって、等積変形の考え方から、
・ΔARBの面積はΔARHの面積に等しい
(ARを底辺と見ると高さが一致するから)
・ΔARHの面積はΔABHの面積に等しい
(AHを底辺と見ると高さが一致するから)
と言えるので、
「ΔABHの面積がΔABCの面積の何倍であるか」
を考えればよいことになります。
前問で
AH:HD=5:6 （ウ：5 エ：6）
と求めたことから、
AH:AD=5:11
となるので、
ΔABH:ΔABD=AH:AD=5:11
つまり
ΔABH=(5／11)・ΔABD …①
であり、また
BD:BC=4:5 （←BD：DC＝4：1だから）
であるから
ΔABD:ΔABC=BD:BC=4:5
つまり
ΔABD=(4／5)・ΔABC …②
となります。
①②より、
ΔARB
=ΔABH
=(5／11)・ΔABD
=(5／11)・(4／5)・ΔABC
=(4／11)・ΔABC
となります。
よって答えは「オ：4 カキ：11」となります。
補足
以下は「AH／HD=5／6」の解説です(前問より引用)。
この選択肢が答えとなります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問48）へ
令和6年度（2024年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問50）へ