二級建築士の過去問 令和3年（2021年） 学科3（建築構造） 問1

図をY軸方向に2分割し、左の正方形を①、右の長方形を②とします。

図心の座標をそれぞれ①は（x₁、y₁）、②は（x_２、y₂）とし、

①の正方形に関わる式をS_y1＝x₁×A₁、S_x1＝y₁×A₁

②の正方形に関わる式をS_y2＝x₂×A₂、S_x2＝y₂×A₂とします。

①と②のそれぞれの四角形の図心の座標は、

（x₁、y₁）は（10、10）、（x_２、y₂）は（30、30）となります。

断面積はA₁＝20×20＝400、A₂＝20×60＝1200となり、

全断面積A=400+1200＝1600となります。

まず、x₀から求めます。

S_y1＝x₁×A₁

　＝10×400

　＝4000

S_y2＝x₂×A₂

　＝30×1200

　＝36000

S_y＝S_{y1 +} S_y2

　＝4000 + 36000

　＝40000

したがって、

x₀＝S_y/A

　＝40000/1600

　＝25

次にy₀を求めます。

S_x1＝y₁×A₁

　＝10×400

　＝4000

S_x2＝y₂×A₂

　＝30×1200

　＝36000

S_x＝S_{x1 +} S_x2

　＝4000 + 36000

　＝40000

したがって、

y₀＝S_x/A

　＝40000/1600

　＝25

よって、（x₀、y₀）＝（25、25）となります。

正しい選択肢は、 ( 25 ,25 ) です。

断面一次モーメントSx , Sy、図心x₀ , y₀、断面積Aには、以下の関係が成立します。

断面一次モーメントSx = 図心距離x₀ × 面積A

断面一次モーメントSy = 図心距離y₀ × 面積A

今回の設問のように複数の長方形が合わさった断面の図心を求める場合、２つの長方形に分けてそれぞれの断面一次モーメントを計算して合計し、断面一次モーメントの合計／全断面積 を計算することで図心を求めることができます。

まず、図をX方向に二分割して、上側を図１、下側を図２とし、それぞれの面積を求めます。

図１の面積A₁ ＝ 20 × 40 ＝ 800㎜

図２の面積A₂ ＝ 40 × 20 ＝ 800㎜

続いて、図１図２それぞれの図心を確認します。

図１の図心 （ x1 , y1 ） ＝ （ 30 ,40 ）

図２の図心 （ x2 , y2 ） ＝ （ 20 ,10 ）

そして、上記の面積と図心距離から、図１、図２それぞれの断面一次モーメントを求めます。

図１の断面一次モーメント

Sx₁ ＝ 30 × 800 ＝ 24,000 ㎜³

Sy₁ ＝ 40 × 800 ＝ 32,000 ㎜³

図２の断面一次モーメント

Sx₂ ＝ 20 × 800 ＝ 16,000 ㎜³

Sy₂ ＝ 10 × 800 ＝ 8,000 ㎜³

それぞれの断面一次モーメント、断面積を合計します。

断面一次モーメントSx ＝ 24,000 ＋ 16,000 ＝ 40,000 ㎜³

断面一次モーメントSy ＝ 32,000 ＋ 8,000 ＝ 40,000 ㎜³

全断面積 Ａ ＝ 1,600 ㎜²

図心距離＝断面一次モーメント／全断面積 を計算します。

図心距離x₀ ＝ 40,000 ／ 1,600 ＝ 25 ㎜

図心距離y₀ ＝ 40,000 ／ 1,600 ＝ 25 ㎜

以上より、図心座標 ( x₀ , y₀ ) ( 25 ,25 ) です。

図をX軸方向で分割し、40×20の長方形（下方、①）と20×40の長方形（上方、②）の２つの長方形に分けて考えます。

① A₁＝20×40＝800(㎜²)

Y軸からの図心X₁＝20(㎜)

　X軸からの図心Y₁＝10(㎜)

② A₂＝40×20＝800(㎜²)

　Y 軸からの図心X₂＝30(㎜)

X軸からの図心Y₁＝40(㎜)

２つの長方形を併せて、Ｘ₀の図心を求めると、

S_ｙ＝Ａ₁×Ｘ₁ + Ａ₂ + Ｘ₂

　　　＝800×20 + 800×30

　　　＝40000(㎜³)

　 Ｘ₀＝Ｓ_ｙ/Ａ

　　　＝40000/800×2

　　　＝25(㎜)

２つの長方形を併せて、Ｙ₀の図心を求めると、

S_ｘ＝Ａ₁×Ｙ₁ + Ａ₂ + Ｙ₂

　　　＝800×10 + 800×40

　　　＝40000(㎜³)

　 Ｘ₀＝Ｓ_ｘ/Ａ

　　　＝40000/800×2

　　　＝25(㎜)

よって、答えは（Ｘ₀ ,Ｙ₀）（25,25）となります。