第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
平成28年度（2016年）
問1 (理論 問1)

電位を表す式は、V=Q/(4πεr)です

点Aにある電荷は+2Q　点Bにある電荷は-Qであります。
AのほうがBより2倍電荷が大きいことから、
Bよりも2倍距離をとる必要があります。

電位が「０」となる点は1点ではなく、
同心円状となることから「4」が正解です。

正解は4番です。

【解説】
点電荷からの電位を表す式は

　V=Q/(4πεr)[V/m]　です。

点Aが2Q[C]　点Bが-Q[C]、
任意の点に対する距離をそれぞれra、rbとして
V=0
となる座標を計算していきます。


【計算】
　
　V=2Q/(4πεra)+｛-Q/(4πεrb)｝＝０　より
　ra＝2rb・・・①

　ここで、各点から任意の点までの距離は
　　ra＝√｛（2d-x）^2+y^2｝・・・②
　　rb＝√｛d+x｝^2+y^2｝・・・③
　となります。

　①式に②式、③式を代入します。

　ra=2rb
　√｛（2d-x）^2+y^2｝＝２√｛d+x｝^2+y^2｝
　（2d-x）^2+y^2＝4｛d+x｝^2+y^2｝
　　3x^2+12dx+3y^2=0
　　(x+2d)^2+y^2＝(2d)^2・・・④

　となります。

　④式は、円の方程式で、
　　中心：（-2d,0）
　　半径：2d
　の円を表しています。

上記を図示しているのは、4番になります。

答えはこの画像↓になります。

 

 

 

静電界における電位について

静電界中に点電荷 Q がある時、Q から距離 r離れた場所の電位 Vは、

誘電率を ε とすると、V　=　Q　/　4πεrの公式があります。

※電位はベクトルではなくスカラー量になりますので単純に2点の足し算になります。

 

任意の点 C における電位を求めると、V=　− Q　/　4πεr_B　+　2 Q　/　4πεr_Aとなります。

この2点の合わせた電位が 0 になればいいので、下記のように式ができます。

0　＝　− Q　/　4πεr_B　+　2 Q　/　4πεr_A

これを整理すると、

-１/ｒ_B　＋　2/ｒ_A　＝　0となります。

１/ｒ_B　＝　2/ｒ_A

２ｒ_B　＝　ｒ_A

 

この時点で、ｒ_Aはｒ_Bの2倍の距離の位置にあるということが分かります。

そのことから選択肢の回答を見ながら考えることも可能です。

 

ＡＣ間　√(2d−x)²+y²

ＢＣ間　√(d+x)²+y²

この値を、２ｒ_B　＝　ｒ_Aに代入します。

 

２√(d+x)²+y²　＝　√(2d−x)²+y²

両辺を2乗すればルートは取れますので、

４｛(d+x)²+y²｝　＝　(2d−x)²+y²

４ｄ^２　+　８ｄｘ　+　４ｘ^２　+　４ｙ^２　＝　４ｄ^２　-　４ｄｘ　+　ｘ^２　+　ｙ^２

３ｘ２　+　１２ｄｘ　+　３ｙ２　＝　0

ｘ^２　+　４ｄｘ　+　ｙ^２　＝　0

（ｘ+２ｄ）^２　+　ｙ^２　＝　（２ｄ）^２

この導き出した式が何を表しているかというと円の公式になります。

（ｘ、ｙ）＝（-2ｄ、0）　半径2ｄ

ということから、１つの円になっているものを選べばいいということになります。