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第三種電気主任技術者の過去問 平成28年度(2016年) 理論 問9

問題

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図のように、R=1Ωの抵抗、インダクタンスL1=0.4mH、L2=0.2mHのコイル、及び静電容量C=8µFのコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧V=100Vを加えたとき、回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振角周波数ω1の値[rad/s]及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振角周波数ω2の値[rad/s]の組合せとして、最も近いものを次の( 1 )~( 5 )のうちから一つ選べ。
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( 第三種 電気主任技術者試験 平成28年度(2016年) 理論 問9 )
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この過去問の解説 (2件)

2
CとL2の並列部分の合成インピーダンスは、

jωL2/jωC/(1/jωC+jωL2)=jωL2/(1-ω^2CL2)
 ・・・分母分子にjωCをかける

また、直列されたL1 もあるため、回路全体のインピーダンスは、

R+jωL1+jωL2/(1-ω^2CL2) となる。

インピーダンスが極めて小さくなる場合は、
ωL1+ωL2/(1-ω^2CL2)=0とすればよい。

式を変換すると、
ω1^2=(L1+L2)/L1L2C となり、

ω1=3.1×10^4 となる。


インピーダンスが極めて大きくなる場合は、
jωL2/(1-ω^2CL2) 部分の分母が0となればよいため、

1-ω2^2CL2=0
ω2=√(1/CL2) 1/√(8×10^-6×0.2×10^-3)=2.5×10^4
となる

付箋メモを残すことが出来ます。
2
正解は5番です。


【解説】
直列共振は、合成インピーダンスを求めてから、虚数部を0とするωを求めます。

並列共振は、CとL2が共振するωを求めます。
これはCとL2のアドミタンスが等しくなるωです。

【計算】
1、直列共振角周波数ω1[rad/s]を求めます。
 ①全体合成インピーダンスを求めます
  CとL2の合成インピーダンスは
   jωL2・1/jωC / (jωL2 + 1/jωC)
   =jωL2 / (1-ω^2L2C)

  全体の合成インピーダンスは
   r+jω{L1+L2/(1-ω^2L2C)}・・・①

  となります。

 ②直列共振角周波数ω1[rad/s]を求めます。
  ①式の虚数部が0になるω1を求めます。
   L1+L2/(1-ω1^2L2C)=0
ω1^2L1L2C-L1=L2

   ω1=√{(L1+L2)/(L1L2C)}
    =√{(0.4*10^6-3+0.2*10^-3)/(0.4*10^-3*0.2*10^-3*8*10^-6)}
=3.1*10^4[rad/s]

 となります。
 選択肢は、4か5です。


2、並列共振角周波数ω2[rad/s]を求めます。

 jω2C=1/(jω2L2)
 ω2=1/√(L2C)
=1/√(0.2*10^-3/8*10^-6)
=2.5*10^4[rad/s]

となります。

よって選択肢は5番です。

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