第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
平成28年度（2016年）
問9 (理論 問9)

CとL2の並列部分の合成インピーダンスは、

jωL2/jωC/(1/jωC+jωL2)=jωL2/(1-ω^2CL2)
　・・・分母分子にjωCをかける

また、直列されたL1 もあるため、回路全体のインピーダンスは、

R+jωL1+jωL2/(1-ω^2CL2)　となる。

インピーダンスが極めて小さくなる場合は、
ωL1+ωL2/(1-ω^2CL2)＝0とすればよい。

式を変換すると、
ω1^2=(L1+L2)/L1L2C　となり、

ω1=3.1×10^4　となる。


インピーダンスが極めて大きくなる場合は、
jωL2/(1-ω^2CL2)　部分の分母が0となればよいため、

1-ω2^2CL2=0
ω2=√(1/CL2) 1/√(8×10^-6×0.2×10^-3)=2.5×10^4
となる

正解は5番です。


【解説】
直列共振は、合成インピーダンスを求めてから、虚数部を０とするωを求めます。

並列共振は、CとL2が共振するωを求めます。
これはCとL2のアドミタンスが等しくなるωです。

【計算】
１、直列共振角周波数ω1[rad/s]を求めます。
　①全体合成インピーダンスを求めます
　　CとL2の合成インピーダンスは
　　　jωL2・1/jωC / (jωL2 + 1/jωC)
　　　＝jωL2 / (1-ω^2L2C)

　　全体の合成インピーダンスは
　　　r+jω{L1+L2/(1-ω^2L2C)}・・・①

　　となります。

　②直列共振角周波数ω1[rad/s]を求めます。
　　①式の虚数部が0になるω1を求めます。
　　　L1+L2/(1-ω1^2L2C)=0
ω1^2L1L2C-L1＝L2

　　　ω1＝√｛(L1+L2)/(L1L2C)｝
　　　　＝√｛(0.4*10^6-3+0.2*10^-3)/(0.4*10^-3*0.2*10^-3*8*10^-6)｝
=3.1*10^4[rad/s]

　となります。
　選択肢は、４か５です。


2、並列共振角周波数ω2[rad/s]を求めます。

　jω2C＝1/(jω2L2)
　ω2=1/√(L2C)
=1/√(0.2*10^-3/8*10^-6)
=2.5*10^4[rad/s]

となります。

よって選択肢は5番です。

答えは（ω_１3.1✕10⁴ω₂　2.5✕10⁴）になります。

 

CとL₂の合成インピーダンスを求めます。
 

（jωL₂　×　１/ｊωｃ）/　（jωL₂　＋　１/ｊωｃ）

　これを計算すると

ｊωL₂　/　（１-ω^２L₂C）

　となります。

回路の合成インピーダンスZは

Z　＝　R　+　ｊωＬ_１　+　｛ｊωＬ_２　/　（１-ω^２L₂C）｝

となります。

 

直列共振を求めるためには、

Zの　ｊωＬ_１　+　｛ｊωＬ_２　/　（１-ω^２L₂C）｝部分が「0」になるように式を組み立てます。

ｊωＬ_１　+　｛ｊωＬ_２　/　（１-ω₁^２L₂C）｝　＝　0

Ｌ_１　+　｛Ｌ_２　/　（１-ω₁^２L₂C）｝＝　0

Ｌ_１　＝　Ｌ_２　/　（ω₁^２L₂C-1）

Ｌ_１（ω₁^２L₂C-1）＝　Ｌ_２

ω₁^２L₁L₂C- L₁  = L_２

ω₁^２L₁L₂C  = L_{２ +} L₁

ω₁^２ =  （L_{２ +} L₁）/　L₁L₂C

ω₁＝　√（L_２ + L₁）/　L₁L₂C

 

これに値をすべて代入します。

ω₁＝　√（0.4×10^-3+　0.2×10^-3）/（0.4×10^-3×0.2×10^-3×8×10^-6）

 

これを計算すると

≒3.1×10⁴（rad/s）

となります。

 

次に並列共振ω_２を求めるためには

 

下記の式のように、CとL₂の合成アドミタンスが「0」になるようにすればいいです。

１/jωL₂　+　ｊωｃ　＝　０

ｊ（ωｃ　－　１/ωL₂）＝0

ω_２^２＝　１　/　C L₂

ω_２= 1 / √C L₂

となります。

 

これに値を代入します。

ω_２= 1 / √0.2×10^-3×8×10^-6

これを計算すると

≒2.5×10^４（rad/s）

となります。