第三種電気主任技術者の過去問
平成29年度（2017年）
理論 問2

求められているものは静電エネルギーWの比ですので、まずは静電エネルギーの公式を知らないといけません。静電エネルギーの公式は

W=1/2×CV^2

で表されます。電圧Vと静電容量Cについてですが、数値が与えられていないので、与えられている情報で表現します。電圧Vとコンデンサの静電容量Cの公式は

V=Ed

C=εS/d

コンデンサA、B、Cの関係を表すと

Cb=2Ca

Cc=1/2Ca

電圧A、B、Cの関係を表すと

Vb=Va

Vc=2Va

以上により、並列接続前の静電エネルギーWは次のように表せます。

W=1/2×CaVa^2+1/2×2CaVa^2+1/2×1/2Ca×(2Va)^2

W=5/2×CaVa^2

次に、並列接続後です。総電荷Qは並列接続前後で変わりません。電荷Qは

Q=CV

と表せますので、CとVを使えば総電荷Qを表現できます。

Q=Qa+Qb+Qc

Q=CaVa+2CaVa+CaVa

Q=4CaVa

コンデンサの静電容量Cも不変であるので

C=Ca+Cb+Cc

C=7/2×Ca

よって、並列接続後の静電エネルギーWは

W=1/2×(4CaVa)^2÷7/2×Ca

W=16/7×CaVa^2

よって、並列接続前後の静電エネルギーの比は

W比=16/7×CaVa^2÷5/2×CaVa^2

W比=0.914

以上により、選択肢の【2】が正解となります。

電極面積がSと電極の距離がdのコンデンサの容量は次の通りになります。

　C ≒ εS / d

よって、各コンデンサの容量は次のようになります。

　Ca ＝ εS / d

　Cb ＝ ε2S / d ＝ 2＊Ca

　Cc ＝ εS / (2d) ＝ 0.5＊Ca

 

同じ電界Eになるように電源が印加されいるため、各電位は次のようになります。

　E ＝ Va / d

　E ＝ Vb / d

　E ＝ Vc / (2d)

よって、

　Vb ＝ Va

　Vc ＝ 2Va

 

蓄えられたエネルギーは、

　W ＝ 0.5＊C＊V² ＝ Q² / (2C)

であることから、接続する前の各コンデンサのエネルギーは次のようになります。

　Wa ＝ 0.5＊Ca＊Va²

　Wb ＝ 0.5＊Cb＊Vb² ＝ 0.5＊2＊Ca＊Va² ＝ Ca＊Va²

　Wc ＝ 0.5＊Cc＊Vc² ＝ 0.5＊0.5＊Ca＊(2Va)² ＝ Ca＊Va²

よって、接続前のエネルギーの総和Wtは、

　Wt ＝ Wa ＋ Wb ＋ Wc ＝ 2.5＊Ca＊Va²

 

並列接続すると、総電荷Qは変わりません。

接続前のコンデンサの電荷はそれぞれ、

　Qa ＝ Ca＊Va

　Qb ＝ Cb＊Vb ＝ 2＊Ca＊Va

　Qc ＝ Cc＊Vc ＝ 0.5＊Ca＊2Va ＝ Ca＊Va

よって、総電荷Qは、

　Q ＝ 4＊Ca＊Va

 

また並列した容量値は C ＝ Ca ＋ Cb ＋ Cc ＝ 3.5＊Ca となります。

そのため接続後のエネルギーは、

　W2 ＝ (4＊Ca＊Va)² / (2＊3.5＊Ca)

　　　＝ 16＊Ca＊Va² / 7

 

それにより、エネルギーの比は

　比 ＝ W2/ Wt

　　＝ (16＊Ca＊Va² / 7) / (2.5＊Ca＊Va²)

　　＝ 16 / (7＊2.5)

　　＝ 0.914

　　≒ 0.91

3つのコンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値を並列接続後とその前の値を比較する問題となります。まずはこの問題で関連する公式を見ていきましょう。

【静電容量】C=εS/d［F］‥①

※ε：誘電率［F/m］

【電荷】Q＝CＶ[C]‥②

【極板間の電界の強さ】E＝Ｖ/ｄ[Ｖ/ｍ]‥③

【静電エネルギー】Ｗ＝Q²/2C［J］‥④

 

次に各平行板コンデンサの情報を整理していきます。

(コンデンサA)‥極板の面積S［m²］、極板間の距離d［m］

(コンデンサB)‥極板の面積2S［m²］、極板間の距離d［m］

(コンデンサC)‥極板の面積S［m²］、極板間の距離2d［m］

以上より、各コンデンサＡ、Ｂ、Ｃの静電容量を①式を利用して求めていきます。

・C_Ａ=εS/d［F］

・C_Ｂ=2εS/d［F］＝2C_Ａ　

・C_C=εS/2d［F］=C_Ａ/2

極板間の電界の強さEは問題文よりそれぞれ同じ値となっておりますが、公式③より距離反比例しているので各コンデンサにかかる電圧は次のようになります。

・Ｖ_Ａ＝Ed［V］

・Ｖ_B＝Ed［V］

・Ｖ_C＝2Ed［V］

※公式③を変形すると以上のようになります。

次に電荷を②式を用いて求めていきます。

・Q_Ａ＝C_ＡＶ_Ａ＝εS/d×Ed＝EεS

・Q_B＝C_BＶ_B＝2εS/d×Ed＝2EεS

・Q_C＝C_CＶ_C＝εS/2d×2Ed＝EεS

以上を元にして、並列接続後の静電エネルギーを求めます。

【並列接続後】

3つのコンデンサの合成静電容量は次のようになります。

・C＝C_Ａ+C_Ｂ+C_C=C_Ａ×(1+2+1/2)＝7/2C_Ａ［F］

さらに、電荷の総和は次のようになります。

・Q＝EεS+2EεS+EεS＝4EεS［C］

静電エネルギーを④の公式を用いて求めます。

・Ｗ＝Q²/2C＝4EεS²/(2×7/2C_Ａ)＝C_ＡEεS²×(16/7)‥⑤

 

次に接続前を求めていきます。

【接続前】

各コンデンサの静電エネルギーは以下のようになります。

・Ｗ_A＝Q_A²/2C_A＝EεS²/(2×εS/d）＝C_ＡEεS²×(1/2)

・Ｗ_Ｂ＝Q_Ｂ²/2C_Ｂ＝2EεS²/(2×2εS/d）＝C_ＡEεS²×(1)

・Ｗ_Ｃ＝Q_Ｃ²/2C_Ｃ＝EεS²/(2×εS/2d）＝C_ＡEεS²×(1)

上記で求めた各コンデンサのエネルギの総和を求めます。

・Ｗ´＝Ｗ_A+Ｗ_Ｂ+Ｗ_Ｃ＝C_ＡEεS²×（1/2+1+1）＝C_ＡEεS²×（5/2）‥⑥

 

最後に問題で問われている倍率を求めます。ここで気を付けなければならないのは分母・分子を間違えない事です。(実際、選択肢の中にその数値があります！)

・Ｗ/Ｗ´＝(16/7)/（5/2）＝32/35≒0.91

以上のようになります。

※1.C_ＡEεS²は共通項なので省略しております。

※2.倍率を比較する際、接続前が分母となります。