第三種電気主任技術者の過去問
平成29年度（2017年）
理論 問6

コイルLとコンデンサCに蓄えられるエネルギーの公式は

Wc=1/2×CV^2

WL=1/2×LI^2

この回路は直流回路であり、エネルギーを蓄えると記述されているので、回路は定常状態として考えます。

直流回路ではコンデンサは解放、コイルは短絡となるので、抵抗のみの回路として電圧、電流を計算します。

C1の電圧をV1とすると

V1=V×R1/(R1+R2)

V1=40

C2の電圧をV2とすると

V2=V×R2/(R1+R2)

V2=60

電流Iは

I=V/(R1+R2)

I=100/(20+30)

I=2

よって、各コイルとコンデンサに蓄えられるエネルギーは

Wc1=1/2×C1×V1^2

Wc1=1/2×400×10^-6×40^2

Wc1=0.32

Wc2=1/2×C2×V2^2

Wc2=1/2×600×10^-6×60^2

Wc2=1.08

WL1=1/2×L1×I^2

WL1=1/2×20×10^-3×2^2

WL1=0.04

WL2=1/2×L2×I^2

WL2=1/2×40×10^-3×2^2

WL2=0.08

よって、エネルギーの総和Wは

W=Wc1+Wc2+WL1+WL2

W=0.32+1.08+0.04+0.08

W=1.52

以上により、選択肢の【5】が正解となります。

正解：【５】

まずは、インダクタンスのエネルギーを計算します。

インダクタンスL（単位：H）に電流I（単位：A）が流れる場合、蓄えるエネルギーW（単位：J）は次の式で計算できます。

　式１）　W = 0.5＊L＊I²

L₁とL₂に流れる電流を計算するため、次のポイントを考慮します。

・直流電圧を与えているため、容量には一時的に電流は流れますが、定常状態になると電流は流れません。

・この問題において、インダクタンスは抵抗成分を持たないことを前提とします。

この条件から、電流値は抵抗R₁とR₂から計算できます。

　I = E / (R₁ + R₂)

　　= 100 / (20 + 30)

　　= 2 [A]

この値とインデックス値を式１に代入し、それぞれのインダクタンスのエネルギーを計算します。

　W_L₁ = 0.5＊0.02＊2²

　　　　= 0.04 [J]

　W_L₂ = 0.5＊0.04＊2²

　　　　= 0.08 [J]

次は、容量のエネルギーを計算します。

容量C（単位：F）に電圧V（単位：V）が印加される場合、蓄えるエネルギーW（単位：J）は次の式で計算できます。

　式２）　W = 0.5＊C＊V²

各容量に印加される電圧を計算するため、C₁とC₂の接続点の電圧をE1計算します。

E1は、抵抗分圧から計算できます。

　E1 = E＊R₂ / (R₁ + R₂)

　　 = 100＊30 / (20 + 30)

　　 = 60 [V]

C₁に印加されている電圧は E − E1です。C₂に印加されている電圧は E1 です。

この値と容量値を式２に代入し、それぞれの容量のエネルギーを計算します。

　W_C₁ = 0.5＊0.0004＊(100 - 60)²

　　　　= 0.32 [J]

　W_C₂ = 0.5＊0.0002＊60²

　　　　= 1.08 [J]

エネルギーの総和は：

　W = W_L₁ ＋ W_L₂ ＋ W_C₁ ＋ W_C₂

　　= 0.04 ＋ 0.08 ＋ 0.32 ＋ 1.08

　　= 1.52 [J]

以上により、選択肢の【５】が正解となります。

直並列回路におけるインダクタンスとコンデンサで蓄えられるエネルギーの総和の値を求めていく問題となります。

ポイントは問題文の中にある[定常状態において]という一文になります。

定常状態にある時、インダクタンスとコンデンサに流れる電流は次のようになります。

・インダクタンス‥短絡

・コンデンサ‥開放

以上より、インダクタンスは定常状態の回路上では導線とみなし、コンデンサは切り離して考える事ができるので、実質抵抗R_1、R₂の直列回路となります。

なのでまずはこの回路全体に流れる電流をオームの法則を用いて求めていきます。

・電流Ｉ[Ａ]＝電圧E[V]/R₁[Ω]+R₂[Ω]‥①

問題の条件を代入すると次のようになります。

・Ｉ＝100/20+30＝2[Ａ]

次に、インダクタンスに蓄えられるエネルギーを求める公式は次のようになります。

・Ｗ[J]＝1/2×L×Ｉ²‥②

以上の公式を用いてインダクタンスL₁、L₂に蓄えれるＷL₁、ＷL₂を求めます。

・ＷL₁＝1/2×20×10^-3×2²＝0.04[J]

・ＷL₂＝1/2×40×10^-3×2²＝0.08[J]

上記を合計すると以下となります。

・ＷL＝0.04+0.08＝0.12[J]

続いてコンデンサを考えていきます。電流は流れていないのでエネルギーは発生しないと思いがちですが、定常状態となったという事を加味すると充電して蓄えられた電荷を放出する際にエネルギーが発生するので、この回路全体のエネルギーとして考慮する必要があります。公式は以下となります。

・Ｗ[J]＝1/2×C×Ｖ²‥②

以上より、求めていきますがそれぞれのコンデンサにかかる端子間電圧は未知数なのでまずはそちらから求めていきます。

・Ｖ₁＝R₁×Ｉ＝20×2＝40[Ｖ]

・Ｖ₂＝R₂×Ｉ＝30×2＝60[Ｖ]

続いて②式でエネルギーＷC[J]を求めます。

・ＷC₁＝1/2×400×10^-6×40²＝0.32[J]

・ＷC₂＝1/2×600×10^-6×60²＝1.08[J]

上記を合計すると以下となります。

・ＷC＝0.32+1.08＝1.40[J]

最後にＷLとＷCを足し合わせてエネルギーの総和とします。

・Ｗ＝0.12+1.40＝1.52[J]

以上のようになります。