第三種電気主任技術者(電験三種) 過去問
平成30年度(2018年)
問2 (理論 問2)
問題文
次の文章は、平行板コンデンサの電界に関する記述である。
極板間距離d0[m]の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。
極板と同形同面積の固体誘電体(比誘電率εr>1、厚さd1[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて( ア )。
また、極板と同形同面積の導体(厚さd2[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて( イ )。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所( ア )及び( イ )に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
極板間距離d0[m]の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。
極板と同形同面積の固体誘電体(比誘電率εr>1、厚さd1[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて( ア )。
また、極板と同形同面積の導体(厚さd2[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて( イ )。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所( ア )及び( イ )に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
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問題
第三種 電気主任技術者試験 平成30年度(2018年) 問2(理論 問2) (訂正依頼・報告はこちら)
次の文章は、平行板コンデンサの電界に関する記述である。
極板間距離d0[m]の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。
極板と同形同面積の固体誘電体(比誘電率εr>1、厚さd1[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて( ア )。
また、極板と同形同面積の導体(厚さd2[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて( イ )。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所( ア )及び( イ )に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
極板間距離d0[m]の平行板空気コンデンサの極板間電圧を一定とする。
極板と同形同面積の固体誘電体(比誘電率εr>1、厚さd1[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、固体誘電体を挿入する前の値と比べて( ア )。
また、極板と同形同面積の導体(厚さd2[m]<d0[m])を極板と平行に挿入すると、空気ギャップの電界の強さは、導体を挿入する前の値と比べて( イ )。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
上記の記述中の空白箇所( ア )及び( イ )に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
- ( ア )強くなる、 ( イ )強くなる
- ( ア )強くなる、 ( イ )弱くなる
- ( ア )弱くなる、 ( イ )強くなる
- ( ア )弱くなる、 ( イ )弱くなる
- ( ア )変わらない、( イ )変わらない
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この過去問の解説 (3件)
01
この問題は、極板間に比誘電率εr(1以上)の誘電体を挿入する前後で
コンデンサの電界の強さの違いを比較します。
挿入前の電荷は、
C0=ε0×S/d0 ---①
となります。
仮で εr=2、d0=1(m)、d1=0.25(m)とすると、
式①は、
C0=ε0×S ---②
となります。
挿入後の電荷は、
C1=ε0×εr×S/(d1)+ε0×S/(d0-d1) ---③
C0の時と同様に、仮で εr=2、d0=1(m)、d1=0.25(m)とすると、
式③は
C1=ε0×2×S/0.25+ε0×S/0.75=8×(ε0/S)+1.33×(ε0/S)=9.33×ε0/S
C1=9.33×ε0×S ---④
式①と式④より
挿入後の静電容量C1は、
C1=9.33×C0 ---⑤
式⑤より
挿入前に比べて挿入後の静電容量は、増えます。
静電容量Cが増えますので、Q=CVより
挿入後コンデンサの電荷Qは、Cの増加分だけ増えます。
面積がS(m^2)の平行板コンデンサの陽極と陰極にそれぞれ+Q(C),−Q(C)の電荷があるときは、
電界の強さE=Qε/Sなので、挿入後は電界の強さは増加します。
よって、固体誘電体を挿入する前の値と比べて強くなるので、
(ア)は「強くなる」になります。
誘電体ではなく、導体(厚さd2<d0)を挿入すると、
挿入前のC0は式②と同じです。
C0=ε0×S ---②
挿入後の電荷は、
C2=ε0×S/(d0-d2)
仮で d0=1(m)、d1=0.25(m)とすると
C2=ε0×S/(1-0.25)=1.33(ε0×S) ---⑥
式②と式⑥より
挿入後の静電容量C2は、
C2=1.33×C0 ---⑦
式⑦より
挿入前に比べて挿入後の静電容量は、増えます。
静電容量Cが増えますので、Q=CVより
挿入後コンデンサの電荷Qは、Cの増加分だけ増えます。
電界の強さE=Qε/Sなので、挿入後は電界の強さは増加します。
よって、導体を挿入する前の値と比べて強くなるので、
(イ)は「強くなる」になります。
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02
解答・解説
極板間の電圧をV[V]、空気中の誘電率をε0[F/m]とすると、電界E0[V/m]は
E0=V/d0[V/m]・・・・・(1)
となります。
極板間に比誘電率εr、厚さd1[m]の誘電体を挿入すると二つのコンデンサが直列接続されたような等価回路となるので、空気ギャップの電界E1[V/m]、電圧をV1[V]と誘電体内の電界をE1’[V/m]、電圧をV2[V]としますと
V=V1+V2[V]・・・・・(2)
V1=E1×(d0-d1)・・・・・(3)
V2=E1’×d1・・・・・(4)
(2)式に(3)式、(4)式を代入しますと
V= E1×(d0-d1)+ E1’×d1[V]・・・・・(5)
となります。ここで極板間の電束密度D[C/m^2]は空気中と誘電体中では変わらないので
D=ε0×E1=εr×ε0×E1’
よって
E1’=E1/εr・・・・・(6)
となります。(6)式を(5)式に代入しますと
V= E1×(d0-d1)+ E1/εr×d1[V]=( d0-d1+d1/εr)×E1[V]
よって
E1=V/( d0-d1+d1/εr)・・・・・(7)
となります。
問題文より比誘電率εr>1、厚さd1[m]<d0[m]となりますのでE1>E0となります。
よって(ア)は「強くなる」となります。
極板間に導体を挿入しますと空気ギャップを狭めたことと同等の効果がありますので電界をE2[V/m]としますと
E2=V/(d0-d2)[V/m]
となりますのでE2>E0となります。
よって(イ)は「強くなる」となります。
答えは(ア)強くなる、(イ)強くなるとなります。
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03
平行平板コンデンサに関する穴埋め問題です。
(ア)強くなる
誘電体挿入前の電界をE1、挿入後の電界をE2として、下図の量記号を使って式に表します。
・誘電体挿入前
E1=V/d0
・誘電体挿入後
E2(d0-d1)+E2'd1=V ※誘電体部分の電界をE2'と表記
E2(d0-d1)+(E2/εr)d1=V ※εrε0E2'=ε0E2 →E2'=E2/εrより
E2{(d0-d1)+(d1/εr)}=V
E2=V/{(d0-d1)+(d1/εr)}
ここで、誘電体挿入前後の式に
d0=2[m]、d1=1[m]、εr=2、V=10[V]
と、仮の値を代入します。
・誘電体挿入前
E1=V/d0
=10/2
=5[V/m]
・誘電体挿入後
E2=V/{(d0-d1)+(d1/εr)}
=10/{(2-1)+(1/2)}
=10/1.5
≒6.66[V/m]
以上のことから、誘電体挿入後の電界の方が強くなることが分かります。
(イ)強くなる
平行平板コンデンサに導体を挿入すると、平行平板コンデンサの距離が短くなります。
平行平板コンデンサの電界の強さは極板間の距離に反比例するので、導体を挿入した場合は電界が強くなります。
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