第三種電気主任技術者の過去問
平成30年度（2018年）
理論 問2

この問題は、極板間に比誘電率εr(1以上)の誘電体を挿入する前後で

コンデンサの電界の強さの違いを比較します。

挿入前の電荷は、

C0＝ε0×S/d0　－－－①

となります。

仮で εr＝2、d0＝1(m)、d1＝0.25(m)とすると、

式①は、

C0＝ε0×S　－－－②

となります。

挿入後の電荷は、

C1＝ε0×εr×S/(d1)+ε0×S/(d0-d1)　－－－③

C0の時と同様に、仮で εr＝2、d0＝1(m)、d1＝0.25(m)とすると、

式③は

C1＝ε0×2×S/0.25＋ε0×S/0.75＝8×(ε0/S)＋1.33×(ε0/S)＝9.33×ε0/S

C1＝9.33×ε0×S　－－－④

式①と式④より

挿入後の静電容量C1は、

C1＝9.33×C0　－－－⑤

式⑤より

挿入前に比べて挿入後の静電容量は、増えます。

静電容量Cが増えますので、Q＝CVより

挿入後コンデンサの電荷Qは、Cの増加分だけ増えます。

面積がS(m^2)の平行板コンデンサの陽極と陰極にそれぞれ+Q(C)，−Q(C)の電荷があるときは、

電界の強さE＝Qε/Sなので、挿入後は電界の強さは増加します。

よって、固体誘電体を挿入する前の値と比べて強くなるので、

(ア)は「強くなる」になります。

誘電体ではなく、導体(厚さd2＜d0)を挿入すると、

挿入前のC0は式②と同じです。

C0＝ε0×S　－－－②

挿入後の電荷は、

C2＝ε0×S/(d0-d2)

仮で d0＝1(m)、d1＝0.25(m)とすると

C2＝ε0×S/(1-0.25)＝1.33(ε0×S)　－－－⑥

式②と式⑥より

挿入後の静電容量C2は、

C2＝1.33×C0　－－－⑦

式⑦より

挿入前に比べて挿入後の静電容量は、増えます。

静電容量Cが増えますので、Q＝CVより

挿入後コンデンサの電荷Qは、Cの増加分だけ増えます。

電界の強さE＝Qε/Sなので、挿入後は電界の強さは増加します。

よって、導体を挿入する前の値と比べて強くなるので、

(イ)は「強くなる」になります。

解答・解説

極板間の電圧をV[V]、空気中の誘電率をε0[F/m]とすると、電界E0[V/m]は

E0=V/d0[V/m]・・・・・(1)

となります。

極板間に比誘電率εr、厚さd1[m]の誘電体を挿入すると二つのコンデンサが直列接続されたような等価回路となるので、空気ギャップの電界E1[V/m]、電圧をV1[V]と誘電体内の電界をE1’[V/m]、電圧をV2[V]としますと

V=V1+V2[V]・・・・・(2)

V1=E1×(d0-d1)・・・・・(3)

V2=E1’×d1・・・・・(4)

(2)式に(3)式、(4)式を代入しますと

V= E1×(d0-d1)+ E1’×d1[V]・・・・・(5)

となります。ここで極板間の電束密度D[C/m^2]は空気中と誘電体中では変わらないので

D=ε0×E1=εr×ε0×E1’

よって

E1’=E1/εr・・・・・(6)

となります。(6)式を(5)式に代入しますと

V= E1×(d0-d1)+ E1/εr×d1[V]=( d0-d1+d1/εr)×E1[V]

よって

E1=V/( d0-d1+d1/εr)・・・・・(7)

となります。

問題文より比誘電率εr＞1、厚さd1[m]＜d0[m]となりますのでE1＞E0となります。

よって(ア)は「強くなる」となります。

極板間に導体を挿入しますと空気ギャップを狭めたことと同等の効果がありますので電界をE2[V/m]としますと

E2=V/(d0-d2)[V/m]

となりますのでE2＞E0となります。

よって(イ)は「強くなる」となります。