第三種電気主任技術者の過去問
令和3年度（2021年）
理論 問7
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問題
第三種 電気主任技術者試験 令和3年度（2021年） 理論 問7 （訂正依頼・報告はこちら）
図のように、起電力 E［V］、内部抵抗 r［Ω］の電池個と可変抵抗 R［Ω］を直列に接続した回路がある。この回路において、可変抵抗 R［Ω］で消費される電力が最大になるようにその値［Ω］を調整した。このとき、回路に流れる電流 I の値［A］を表す式として、正しいものを次の（ 1 ）〜（ 5 ）のうちから一つ選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
n個の電池はnrの内部抵抗と、nEの起電力を持つ電源として表現できます。
よって、nEを電源、負荷をnrとRの直列回路とした場合の電流値は
I = nE/(R+nr) ・・・①
Rで消費される電力は P = I2R より
P = n2 × E2 × R/{R2+(nr)2｝
この分母・分子を R（≠0）で割ると、
（分子）= n2 × E2（定数)
（分母）= R + 2nr + (nr)2/R
となります。
変数はRなので、消費電力が最大となるのは、分母の値が最小となる場合です。
分母の値を
f(R) = R + (nr)2/R ・・・②
として相加相乗平均の関係を用いて「f(R)が最小となる条件」を求めます。
（※2nr は定数ですので、無視できます。）
相加相乗平均の関係より
R ＞ 0 のとき
R + (nr)2/R ≥ 2√{R×(nr)2/R} ・・・③
が成り立ちます。
f(R) が最小となる条件は、
R = (nr)2/R
R = nr
この値を電流の式①に代入すると
I = nE/2nr
= E/2r
よって４が正解です。
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02
回路に流れる電流についての問題です。
電池n個を直列に接続した場合、そこに流れる電流Iは、
I ＝ nE／(nr + R)
です。
Rでの消費電力が最大となるのは、nr = R の時なので、
I ＝ E／2r
となります。
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