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第三種電気主任技術者の過去問 令和3年度(2021年) 理論 問20

問題

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図のように、極板間の厚さd[m]、表面積S[m2]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEA1、EA2、EA3、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEB1、EB2、EB3とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率をε0[F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V[V]の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の問に答えよ。

この設問は、(前問)の続きの設問となります。

コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か、正しいものを次の( 1 )〜( 5 )のうちから一つ選べ。
問題文の画像
   1 .
0.72
   2 .
0.83
   3 .
1
   4 .
1.2
   5 .
1.38
( 第三種 電気主任技術者試験 令和3年度(2021年) 理論 問20 )
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この過去問の解説 (2件)

1

C = ε × S/d ・・・①

  C:静電容量[F]

  ε:物体の誘電率[F/m](ε = εrε0

  S:極板面積[m2]

  d:極板間の厚さ[m]

①より、コンデンサBの各誘電体の静電容量CB1、CB2、CB3

CB1 = 2ε0 × S / 6d = 1/3C [F]

CB2 = 3ε0 × S / 3d = C [F]

CB3 = 6ε0 × S / 2d = 3 C [F]

ただし、C = ε0 ×S/d [F]

で表されます。

この合成容量CBは、コンデンサの並列接続より

CB = CB1 + CB2 + CB3 = 13/3C [F]

コンデンサに蓄えられるエネルギーは W = 1/2 × CV2 で表されるので、

コンデンサAに蓄えられるエネルギーWA

WA = 1/2 × CA × V2 = 9/ 5CV2

コンデンサBに蓄えられるエネルギーWB

WB = 1/2 × CB × V2 = 13/ 6CV2

となるので、

(9/5) / (13/6) = 54/65 ≒ 0.830 となります。

よって2が正解です。

付箋メモを残すことが出来ます。
1

誘電体を挿入した平行平板コンデンサの特性に関する計算問題ですが、

実態は直列接続・並列接続のコンデンサの合成静電容量とエネルギーの計算問題です。

選択肢2. 0.83

まずはじめに、両コンデンサの合成容量を求めていきます。

コンデンサAは電圧に対して水平方向に誘電体が挿入されているので、

3つのコンデンサを直列に接続したとみなすことができます。

誘電体を含むコンデンサの静電容量Cは、平行金属板間の静電容量の公式で表すことができ、

誘電率をεとして

 C = εS/L

となります。

従って、各誘電体の静電容量は

 CA1 = 2ε0S/(d/6) = 12ε0S/d

 CA2 = 3ε0S/(d/3) = 9ε0S/d

 CA3 = 6ε0S/(d/2) = 12ε0S/d

となります。

先にも触れましたが、コンデンサAは直列接続とみなすことができるので、

合成静電容量は

 CA = 1/(1/CA1 + 1/CA2 + 1/CA3)

  = 1/(1/(12ε0S/d) + 1/(9ε0S/d) + 1/(12ε0S/d))

  = 1/(d/12ε0S + d/9ε0S + d/12ε0S)

  = 18ε0S/5d

となります。

同様にして、コンデンサBの各誘電体の静電容量は

 CB1 = (2ε0×S/6)/d = 2ε0S/6d = ε0S/3d

 CB2 = (3ε0×S/3)/d = 3ε0S/3d = ε0S/d

 CB3 = (6ε0×S/2)/d = 6ε0S/2d = 3ε0S/d

となります。

コンデンサBは3つのコンデンサを並列接続したとみなすことができるので

 CB = CB1 + CB2 + CB3

  = ε0S/3d + ε0S/d + 3ε0S/d

  = 13ε0S/3d

となります。

問題では、コンデンサAの蓄積エネルギーがコンデンサBの何倍かとなっているので、

コンデンサに蓄えられるエネルギーを計算して比較します。

コンデンサに蓄えられるエネルギーWは、静電容量Cと電圧Vを用いて

 W = CV2 × (1/2)

と表すことができます。

この公式に各コンデンサの合成容量を代入すると

 WA = CAV2 × (1/2)

 WB = CBV2 × (1/2)

となり、比較はコンデンサBを基準とするため

 WA / WB

となります。

ここで問題文より、各コンデンサに加えられている電圧はV[V]と同じなので、

各コンデンサの蓄積エネルギーは、各コンデンサの合成静電容量にのみ依存するということが分かります。

つまり、

 WA / WB = CA / CB

で比較することができます。

よって、各コンデンサの合成静電容量を代入すると

 WA / WB = CA / CB

  = (18ε0S/5d) / (13ε0S/3d)

  = (18/5) / (13/3)

  ≒ 0.83

と求めることができます。

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