第三種電気主任技術者の過去問
令和3年度（2021年）
理論 問20

まずはじめに、両コンデンサの合成容量を求めていきます。

コンデンサAは電圧に対して水平方向に誘電体が挿入されているので、

3つのコンデンサを直列に接続したとみなすことができます。

誘電体を含むコンデンサの静電容量Cは、平行金属板間の静電容量の公式で表すことができ、

誘電率をεとして

　C ＝ εS/L

となります。

従って、各誘電体の静電容量は

　C_A1 ＝ 2ε₀S/(d/6) ＝ 12ε₀S/d

　C_A2 ＝ 3ε₀S/(d/3) ＝ 9ε₀S/d

　C_A3 ＝ 6ε₀S/(d/2) ＝ 12ε₀S/d

となります。

先にも触れましたが、コンデンサAは直列接続とみなすことができるので、

合成静電容量は

　C_A ＝ 1/(1/C_A1 ＋ 1/C_A2 ＋ 1/C_A3)

　　＝ 1/(1/(12ε₀S/d) ＋ 1/(9ε₀S/d) ＋ 1/(12ε₀S/d))

　　＝ 1/(d/12ε₀S ＋ d/9ε₀S ＋ d/12ε₀S)

　　＝ 18ε₀S/5d

となります。

同様にして、コンデンサBの各誘電体の静電容量は

　C_B1 ＝ (2ε₀×S/6)/d ＝ 2ε₀S/6d ＝ ε₀S/3d

　C_B2 ＝ (3ε₀×S/3)/d ＝ 3ε₀S/3d ＝ ε₀S/d

　C_B3 ＝ (6ε₀×S/2)/d ＝ 6ε₀S/2d ＝ 3ε₀S/d

となります。

コンデンサBは3つのコンデンサを並列接続したとみなすことができるので

　C_B ＝ C_B1 ＋ C_B2 ＋ C_B3

　　＝ ε₀S/3d ＋ ε₀S/d ＋ 3ε₀S/d

　　＝ 13ε₀S/3d

となります。

問題では、コンデンサAの蓄積エネルギーがコンデンサBの何倍かとなっているので、

コンデンサに蓄えられるエネルギーを計算して比較します。

コンデンサに蓄えられるエネルギーWは、静電容量Cと電圧Vを用いて

　W ＝ CV² × (1/2)

と表すことができます。

この公式に各コンデンサの合成容量を代入すると

　W_A ＝ C_AV² × (1/2)

　W_B ＝ C_BV² × (1/2)

となり、比較はコンデンサBを基準とするため

　W_A / W_B

となります。

ここで問題文より、各コンデンサに加えられている電圧はV[V]と同じなので、

各コンデンサの蓄積エネルギーは、各コンデンサの合成静電容量にのみ依存するということが分かります。

つまり、

　W_A / W_B ＝ C_A / C_B

で比較することができます。

よって、各コンデンサの合成静電容量を代入すると

　W_A / W_B ＝ C_A / C_B

　　＝ (18ε₀S/5d) / (13ε₀S/3d)

　　＝ (18/5) / (13/3)

　　≒ 0.83

と求めることができます。