問題
コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の( 1 )〜( 5 )のうちから一つ選べ。
コンデンサの静電容量の式
C = ε × S / d ・・・①
C:静電容量[F]
ε:物体の誘電率[F/m](ε = εrε0)
S:極板面積[m2]
d:極板間の厚さ[m]
一様電場の式
V = Ed ・・・②
V:極間電圧[V]
E:電場の強さ[V/m]
d:極板間の厚さ[m]
を使用します。
コンデンサAを上から静電容量をCA1、CA2、CA3の合成容量とすると
CA1 = 2ε0 × 6S / d = 12C
CA2 = 3ε0 × 3S / d = 9C
CA3 = 6ε0 × 2S / d = 12C
ただし、C = ε0 × S / d
となります。
コンデンサAはCA1、CA2、CA3の直列接続なので、
合成容量CAは
CA = 1/(1/CA1 + 1/CA2 + 1/CA3) = 18/5×C
よって、コンデンサに溜まる電荷をQ[C]とすると、
Q = CA × V = 18/5×C×V [C]
この電荷が各誘電体のコンデンサに溜まるので、
これをそれぞれの静電容量で割ったものがCA1、CA2、CA3の両端にかかる電圧です。
その電圧を②より厚さdで割ると各電場の強さが導出されます。
EA1 = Q/CA1/(d/6) = 18/5 × C × V/(12C)/(d/6) = 9V/5d
EA2 = Q/CA2/(d/3) = 18/5 × C × V/(9C)/(d/3) = 6V/5d
EA3 = Q/CA3/(d/2) = 18/5 × C × V/(12C)/(d/2) = 3V/5d
よって EA1 = 9V/5d > EA2 > EA3 となります。
よって4が正解です。
誘電体を挿入した平行平板コンデンサの特性に関する計算問題です。
この問題では、各誘電体の大小関係と電界が最大となる条件について求めていきます。
まず、各誘電体の大小関係から計算していきましょう。
平行平板コンデンサの電束密度Dと電界Eの関係は、誘電率εを用いて
D = εE
で表すことができます。
電界を求められるように式を変形し、これを各誘電体に当てはめると
EA1 = D/2ε0
EA2 = D/3ε0
EA3 = D/6ε0
大小を比較するためD/ε0を共通項として、EA1を基準に比較をします。
D/ε0 = 2EA1
EA2 = D/3ε0 = 2/3×EA1
EA3 = D/6ε0 = 2EA1/6 = 1/3×EA1
よって、各電界の大小関係は EA1 > EA2 > EA3 となります。
次に、電界が最大となる条件をコンデンサの直列接続の特徴、電界Eと電圧Vの関係を表す公式を用いて計算していきます。
電界Eと電圧Vの関係は、電極間の距離をdとして次のように表すことができます。
E = V/d
これを電圧が求められるように式を変形しコンデンサの直列接続の特徴を加えて考えると、コンデンサAに加わる電圧は次のように表すことができます。
V = VA1 + VA2 + VA3
= EA1 × d/6 + EA2 × d/3 + EA3 b × d/2
EA2とEA3は、EA1を用いて表すことができるので
V = EA1 × d/6 + 2EA1/3 × d/3 + EA1/3×d/2
= EA1d/6 + EA1×2d/9 + EA1×d/6
= EA1(d/6 + 2d/9 + d/6)
= EA1(3d/18 + 4d/18 + 3d/18)
= EA1 × 5d/9
電界Eが最大となる条件について問われているので、電界Eを求めるように式を変形すると、
EA1 = 9V/5d となります。