第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和3年度（2021年）
問19 (理論 問19)

コンデンサの静電容量の式

C = ε × S / d　・・・①

　　C：静電容量[F]

　　ε：物体の誘電率[F/m]（ε = ε_rε₀）

　　S：極板面積[m²]

　　d：極板間の厚さ[m]

一様電場の式

V = Ed　・・・②

　　V：極間電圧[V]

　　E：電場の強さ[V/m]

　　d：極板間の厚さ[m]

を使用します。

コンデンサＡを上から静電容量をC_A1、C_A2、C_A3の合成容量とすると

C_A1 = 2ε₀ × 6S / d = 12C

C_A2 = 3ε₀ × 3S / d = 9C

C_A3 = 6ε₀ × 2S / d = 12C

ただし、C = ε₀ × S / d

となります。

コンデンサAはC_A1、C_A2、C_A3の直列接続なので、

合成容量C_Aは

C_A = 1/(1/C_A1 + 1/C_A2 + 1/C_A3) = 18/5×C

よって、コンデンサに溜まる電荷をＱ[C]とすると、

Ｑ = C_A × V = 18/5×C×V [C]

この電荷が各誘電体のコンデンサに溜まるので、

これをそれぞれの静電容量で割ったものがC_A1、C_A2、C_A3の両端にかかる電圧です。

その電圧を②より厚さdで割ると各電場の強さが導出されます。

E_A1 = Q/C_A1/(d/6) = 18/5 × C × V/(12C)/(d/6) = 9V/5d

E_A2 = Q/C_A2/(d/3) = 18/5 × C × V/(9C)/(d/3) = 6V/5d

E_A3 = Q/C_A3/(d/2) = 18/5 × C × V/(12C)/(d/2) = 3V/5d

よって　E_A1 = 9V/5d ＞ E_A2 ＞ E_A3　となります。

よって４が正解です。

誘電体を挿入した平行平板コンデンサの特性に関する計算問題です。

この問題では、各誘電体の大小関係と電界が最大となる条件について求めていきます。

まずはコンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係から見ていきます。

問題図よりコンデンサAは比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体が直列で接続されています。直列接続の場合、蓄えられる電荷Qは同じになるのでQ＝CV[C]と電界の強さE=V/ｄ[V/ｍ]、静電容量C＝εS/ｄ[F]を用いて次のように表すことができます。

・Q＝εSV/ｄ

・Q=εSEｄ/ｄ＝εSE[C]

上記式の結果より電界の強さEについて解くと次のようになります。

・E＝Q/εS[V/ｍ]

この結果より電界の強さは誘電率εに反比例していると言えます。

なので誘電率が少ない方から並べたE_A1 ＞ E_A2 ＞ E_A3が電界の強さ大小関係となります。

次に電界の強さの最大値を求めていきます。

問題図よりコンデンサの上側に電源電圧Vが接続されており、3種類の誘電体の電圧の合計が最終的に電源電圧Vとなる形です。また最大値を求めなければならないので、前述で求めた大小関係よりE_A1 の電界の強さを基準にして求めていきます。

V＝Eｄ[V]の関係から一つずつ誘電体にかかる電圧を求めていきましょう。

・V₁＝E_A1 ×ｄ/6

・V₂＝E_A2 ×ｄ/3＝(2E_A1/3)×ｄ/3＝E_A1 ×2ｄ/9

・V₃＝E_A3 ×ｄ/3＝(E_A1/3)×ｄ/2＝E_A1 ×ｄ/6

上記の結果より電源電圧Vを求めます。

・V＝V₁+V₂+V₃[V]

・V＝E_A1 ×(ｄ/6+2ｄ/9+ｄ/6)＝E_A1 ×10ｄ/18

上記の結果からE_A1 について解くと次のようになります。

・E_A1 ＝18V/10ｄ＝9V/5ｄ[V/ｍ]

以上となります。