第三種電気主任技術者の過去問
令和4年度（2022年）上期
機械 問15（2）

◆一巡伝達関数の式の共役複素数を展開し、実数部と虚数部に分けて求めます。

　G_(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)

　　＝ {5／(1＋jω0.1)}×{(1−jω0.1)／(1−jω0.1)}

　　＝ {5×(1−jω0.1)}／{1＋(0.1ω)²}

　　＝ {5／{1＋(0.1ω)²}} − j{0.5ω／{1＋(0.1ω)²}}

この式は、実数部が正、虚数部が負となっています。

したがって、この一巡伝達関数のベクトル軌跡は、数学的に言う第4象限であること分かります。

◆角周波数ω＝0のときとω＝∞のときの一巡伝達関数を求めます。

・ω ＝ 0のとき

　G_(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)

　　＝ 5／{1＋(0.1×0)}

　　＝ 5

・ω ＝ ∞のとき

　G_(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)

　　＝ 5／{1＋(0.1×∞)}

　　＝ 0

以上のことから、一巡伝達関数が、

ω ＝ 0のときに5になり、ω ＝ ∞のときに0となる選択肢が正解となります。

この問題の場合、図にある角周波数ωの値まで確認しなくても選択肢を絞ることが出来ます。

ですが、他の問題で、角周波数を求める必要があるとなった場合の解き方を紹介します。

◇45゜のときにω ＝ 10[rad/s]であるかを確認します。

下図のような三角形を考えます。

この三角形は二等辺三角形であるので、下図に示す2辺が等しい三角形であることが分かります。

この2辺はそれぞれ、実数部と虚数部の成分であることから、

　実数部＝虚数部

となります。

一巡伝達関数の式から

　実数部＝虚数

　1 ＝ 0.1ω

となり、

　ω ＝ 1／0.1

　　＝ 10 [rad/s]

であると確認が取れます。

ωが変化すると一巡伝達関数も変化します。

ω = 0の一巡伝達関数は、

　5 / (1 + 0.1jω) = 5

ω = 10では、

　5 / (1 + 0.1jω) = 5 / (1 + j) = (5 − 5j)/2 = 2.5 − 2.5j

ベクトルは原点から右下に傾きます。

ω = 60では、

　5 / (1 + 0.1jω) = 5 / (1 + 6j) = 5(1 − 6j) / {(1 + 6j)(1 − 6j)} = (5 − 30j) / 37

ベクトルは原点から左下に傾きます。

したがって描かれる軌跡は、図のようになります。