一巡伝達関数のベクトル軌跡に関する問題です。
一巡伝達関数は、＜前問＞で求めた
G(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)
となっています。
◆一巡伝達関数の式の共役複素数を展開し、実数部と虚数部に分けて求めます。
G(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)
＝ {5／(1＋jω0.1)}×{(1−jω0.1)／(1−jω0.1)}
＝ {5×(1−jω0.1)}／{1＋(0.1ω)2}
＝ {5／{1＋(0.1ω)2}} − j{0.5ω／{1＋(0.1ω)2}}
この式は、実数部が正、虚数部が負となっています。
したがって、この一巡伝達関数のベクトル軌跡は、数学的に言う第4象限であること分かります。
◆角周波数ω＝0のときとω＝∞のときの一巡伝達関数を求めます。
・ω ＝ 0のとき
G(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)
＝ 5／{1＋(0.1×0)}
＝ 5
・ω ＝ ∞のとき
G(jω) ＝ 5／(1＋jω0.1)
＝ 5／{1＋(0.1×∞)}
＝ 0
以上のことから、一巡伝達関数が、
ω ＝ 0のときに5になり、ω ＝ ∞のときに0となる選択肢が正解となります。
この問題の場合、図にある角周波数ωの値まで確認しなくても選択肢を絞ることが出来ます。
ですが、他の問題で、角周波数を求める必要があるとなった場合の解き方を紹介します。
◇45゜のときにω ＝ 10[rad/s]であるかを確認します。
下図のような三角形を考えます。
この三角形は二等辺三角形であるので、下図に示す2辺が等しい三角形であることが分かります。
この2辺はそれぞれ、実数部と虚数部の成分であることから、
実数部＝虚数部
となります。
一巡伝達関数の式から
実数部＝虚数
1 ＝ 0.1ω
となり、
ω ＝ 1／0.1
＝ 10 [rad/s]
であると確認が取れます。
フィードバック制御系のブロック線図に関する問題です。
ωが変化すると一巡伝達関数も変化します。
ω = 0の一巡伝達関数は、
5 / (1 + 0.1jω) = 5
ω = 10では、
5 / (1 + 0.1jω) = 5 / (1 + j) = (5 − 5j)/2 = 2.5 − 2.5j
ベクトルは原点から右下に傾きます。
ω = 60では、
5 / (1 + 0.1jω) = 5 / (1 + 6j) = 5(1 − 6j) / {(1 + 6j)(1 − 6j)} = (5 − 30j) / 37
ベクトルは原点から左下に傾きます。
したがって描かれる軌跡は、図のようになります。
